Wiskundestudenten wordt vaak gevraagd om hun antwoorden in hun eenvoudigste vorm op te schrijven, met andere woorden, om de antwoorden zo elegant mogelijk op te schrijven. Hoewel lang, stijf en kort, evenals elegant, vergelijkingen technisch gezien hetzelfde zijn, wordt een wiskundig probleem vaak niet als voltooid beschouwd als het uiteindelijke antwoord niet wordt teruggebracht tot zijn eenvoudigste vorm. Ook is het antwoord in zijn eenvoudigste vorm bijna altijd de gemakkelijkste vergelijking om mee te werken. Om deze reden is het leren vereenvoudigen van vergelijkingen een belangrijke vaardigheid voor wiskundigen.
Stap
Methode 1 van 2: Bedieningsvolgorde gebruiken
Stap 1. Ken de volgorde van bewerkingen
Bij het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen kun je niet zomaar van links naar rechts werken, vermenigvuldigen, optellen, aftrekken, enzovoort, in volgorde van links naar rechts. Sommige wiskundige bewerkingen moeten voorrang hebben op andere en eerst worden uitgevoerd. In feite kan het gebruik van de verkeerde volgorde van bewerkingen het verkeerde antwoord geven. De volgorde van bewerkingen is: het deel tussen haakjes, de exponent, de vermenigvuldiging, de deling, de optelling en tenslotte de aftrekking. Een acroniem dat u kunt gebruiken om te onthouden is Omdat moeder niet goed, slecht en slecht is.
Merk op dat, hoewel een basiskennis van de volgorde van bewerkingen de meest elementaire vergelijkingen kan vereenvoudigen, er speciale technieken nodig zijn om veel variabele vergelijkingen te vereenvoudigen, waaronder bijna alle veeltermen. Zie de volgende tweede methode voor meer informatie
Stap 2. Begin met het invullen van alle secties tussen haakjes
In de wiskunde geven haakjes aan dat het binnenste deel apart moet worden berekend van de uitdrukking die buiten de haakjes staat. Ongeacht welke bewerkingen tussen haakjes staan, zorg ervoor dat u eerst het deel tussen haakjes voltooit wanneer u een vergelijking probeert te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld, tussen haakjes moet u vermenigvuldigen voordat u optellen, aftrekken, enzovoort.
-
Laten we bijvoorbeeld proberen de vergelijking 2x + 4(5 + 2) + 3. te vereenvoudigen2 - (3 + 4/2). In deze vergelijking moeten we eerst het deel tussen de haakjes oplossen, namelijk 5 + 2 en 3 + 4/2. 5 + 2 =
Stap 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Stap 5
Het deel in de tweede haak is vereenvoudigd tot 5 omdat we volgens de volgorde van bewerkingen eerst 4/2 in de haakjes verdelen. Als we gewoon van links naar rechts werken, tellen we eerst 3 en 4 op en delen dan door 2, wat het verkeerde antwoord 7/2 geeft
- Opmerking - als er meerdere haakjes tussen haakjes staan, voltooi dan het gedeelte in de binnenste haak, dan de tweede binnenste, enzovoort.
Stap 3. Los de exponent op
Nadat je de haakjes hebt voltooid, los je vervolgens de exponent van je vergelijking op. Dit is gemakkelijk te onthouden omdat in exponenten het grondtal en de macht tot de macht naast elkaar liggen. Zoek het antwoord op elk deel van de exponent en vul vervolgens uw antwoord in de vergelijking in om het exponentgedeelte te vervangen.
Na het voltooien van het deel tussen haakjes, wordt onze voorbeeldvergelijking nu 2x + 4(7) + 32 - 5. De enige exponentiële in ons voorbeeld is 32, wat gelijk is aan 9. Voeg dit resultaat toe aan je vergelijking om 3. te vervangen2 resulterend in 2x + 4(7) + 9 - 5.
Stap 4. Los het vermenigvuldigingsprobleem in je vergelijking op
Voer vervolgens de vermenigvuldiging uit die nodig is in uw vergelijking. Onthoud dat vermenigvuldigen op verschillende manieren kan worden geschreven. Het ×-punt of asterisk-symbool is een manier om vermenigvuldiging weer te geven. Een getal naast haakjes of een variabele (zoals 4(x)) vertegenwoordigt echter ook een vermenigvuldiging.
-
Er zijn twee delen van vermenigvuldiging in ons probleem: 2x (2x is 2 × x) en 4(7). We kennen de waarde van x niet, dus laten we het gewoon op 2x. 4(7) = 4 × 7 =
Stap 28.. We kunnen onze vergelijking herschrijven tot 2x + 28 + 9 - 5.
Stap 5. Ga verder met delen
Wanneer u op zoek bent naar delingsproblemen in uw vergelijkingen, houd er dan rekening mee dat deling, net als vermenigvuldigen, op een aantal manieren kan worden geschreven. Een daarvan is het symbool, maar houd er rekening mee dat schuine strepen en streepjes zoals in breuken (bijv. 3/4) ook delen aangeven.
Omdat we de verdeling (4/2) al hebben gedaan toen we de delen tussen haakjes klaar hadden. Ons voorbeeld heeft nog geen deelprobleem, dus we slaan deze stap over. Dit toont een belangrijk punt aan: u hoeft niet alle bewerkingen uit te voeren bij het vereenvoudigen van een uitdrukking, alleen de bewerkingen die in uw opgave voorkomen
Stap 6. Voeg vervolgens toe wat in uw vergelijking staat
U kunt van links naar rechts werken, maar het is gemakkelijker om eerst de gemakkelijk toe te voegen getallen op te tellen. In de opgave 49 + 29 + 51 + 71 is het bijvoorbeeld gemakkelijker om 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 en 100 + 100 = 200 op te tellen dan 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 en 129 + 71 = 200.
Onze voorbeeldvergelijking is gedeeltelijk vereenvoudigd tot 2x + 28 + 9 – 5. Nu moeten we de getallen optellen die we kunnen optellen - laten we elk optellingsprobleem van links naar rechts bekijken. We kunnen 2x en 28 niet optellen omdat we de waarde van x niet kennen, dus we zullen het gewoon overslaan. 28 + 9 = 37, kan worden herschreven als 2x + 37 - 5.
Stap 7. De laatste stap van de reeks bewerkingen is aftrekken
Vervolg uw probleem door de resterende aftrekproblemen op te lossen. U kunt aftrekken zien als het optellen van negatieve getallen in deze stap, of dezelfde stappen gebruiken als voor een normaal optelprobleem - uw keuze heeft geen invloed op uw antwoord.
-
In ons probleem, 2x + 37 - 5, is er maar één aftrekprobleem. 37 – 5 =
Stap 32.
Stap 8. Controleer uw vergelijking
Na het oplossen met behulp van de volgorde van bewerkingen, moet uw vergelijking worden vereenvoudigd tot de eenvoudigste vorm. Als uw vergelijking echter een of meer variabelen bevat, moet u er rekening mee houden dat er niet aan uw variabelen hoeft te worden gewerkt. Om een variabele te vereenvoudigen, moet u de waarde van uw variabele vinden of speciale technieken gebruiken om de uitdrukking te vereenvoudigen (zie stap hieronder).
Ons uiteindelijke antwoord is 2x + 32. We kunnen deze laatste optelling niet oplossen tenzij we de waarde van x kennen, maar als we de waarde ervan wisten, zou deze vergelijking veel gemakkelijker op te lossen zijn dan onze lange oorspronkelijke vergelijking
Methode 2 van 2: Complexe vergelijkingen vereenvoudigen
Stap 1. Tel de delen op die dezelfde variabele hebben
Onthoud bij het oplossen van variabele vergelijkingen dat delen met dezelfde variabele en exponent (of dezelfde variabele) kunnen worden opgeteld en afgetrokken zoals normale getallen. Dit deel moet dezelfde variabele en exponent hebben. Er kunnen bijvoorbeeld 7x en 5x worden opgeteld, maar 7x en 5x2 kan niet worden opgeteld.
- Deze regel geldt ook voor sommige variabelen. Bijvoorbeeld 2xy2 kan worden opgeteld door -3xy2, maar kan niet worden opgeteld door -3x2y of -3y2.
- Zie vergelijking x2 + 3x + 6 - 8x. In deze vergelijking kunnen we 3x en -8x optellen omdat ze dezelfde variabele en exponent hebben. De eenvoudige vergelijking wordt x2 - 5x + 6.
Stap 2. Vereenvoudig fractionele getallen door de factoren te delen of door te strepen
Breuken die alleen getallen (en geen variabelen) in de teller en noemer hebben, kunnen op verschillende manieren worden vereenvoudigd. De eerste, en misschien wel de gemakkelijkste, is om de breuk te zien als een delingsprobleem en de noemer te delen door de teller. Ook kan elke vermenigvuldigingsfactor die voorkomt in de teller en noemer worden doorgestreept, omdat het delen van de twee factoren resulteert in het getal 1.
Kijk bijvoorbeeld naar de breuk 36/60. Als we een rekenmachine hebben, kunnen we deze delen om het antwoord te krijgen 0, 6. Als we echter geen rekenmachine hebben, kunnen we deze nog steeds vereenvoudigen door dezelfde factoren door te strepen. Een andere manier om 36/60 voor te stellen is (6 × 6)/(6 × 10). Deze breuk kan worden geschreven als 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, dus onze breuk is eigenlijk 1 × 6/10 = 6/10. We zijn echter nog niet klaar - zowel 6 als 10 hebben dezelfde factor, namelijk 2. Door de bovenstaande methode te herhalen, wordt het resultaat 3/5.
Stap 3. Streep op de variabele breuk alle factoren van de variabele door
Variabele vergelijkingen in breukvorm hebben een unieke manier om te vereenvoudigen. Net als gewone breuken kun je met variabele breuken factoren elimineren die zowel de teller als de noemer gemeen hebben. In variabele breuken kunnen deze factoren echter getallen en vergelijkingen zijn van de werkelijke variabele.
- Laten we zeggen dat de vergelijking (3x2 + 3x)/(-3x2 + 15x) Deze breuk kan worden geschreven als (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x komt zowel in de teller als in de noemer voor. Door deze factoren uit de vergelijking te halen, wordt het resultaat (x + 1)/(5 - x). Hetzelfde als in uitdrukking (2x2 + 4x + 6)/2, aangezien elk deel deelbaar is door 2, kunnen we de vergelijking schrijven als (2(x2 + 2x + 3))/2 en vereenvoudig vervolgens tot x2 + 2x + 3.
- Merk op dat u niet alle secties kunt doorstrepen - u kunt alleen de vermenigvuldigingsfactoren wegstrepen die in de teller en noemer voorkomen. In de uitdrukking (x(x + 2))/x kan x bijvoorbeeld door zowel de teller als de noemer worden geschrapt, zodat het (x + 2)/1 = (x + 2) wordt. (x + 2)/x kan echter niet worden doorgestreept tot 2/1 = 2.
Stap 4. Vermenigvuldig het deel tussen haakjes met de constante
Wanneer het deel met de variabele tussen haakjes wordt vermenigvuldigd met een constante, kan het soms resulteren in een eenvoudigere vergelijking wanneer elk deel tussen haakjes wordt vermenigvuldigd met een constante. Dit geldt voor constanten die alleen uit getallen bestaan en constanten die variabelen hebben.
- Bijvoorbeeld vergelijking 3(x2 + 8) kan worden vereenvoudigd tot 3x2 + 24, terwijl 3x(x2 + 8) kan worden vereenvoudigd tot 3x3 + 24x.
- Merk op dat in sommige gevallen, zoals variabele breuken, constanten rond de haakjes kunnen worden doorgestreept, zodat ze niet hoeven te worden vermenigvuldigd met het deel tussen haakjes. In breuken (3(x2 + 8))/3x, de factor 3 komt bijvoorbeeld zowel in de teller als in de noemer voor, dus we kunnen het doorstrepen en de uitdrukking vereenvoudigen tot (x2 + 8)/x. Deze uitdrukking is eenvoudiger en gemakkelijker om mee te werken dan (3x3 + 24x)/3x, wat het resultaat is dat we krijgen als we het vermenigvuldigen.
Stap 5. Vereenvoudig door factoring
Factoring is een techniek die kan worden gebruikt om sommige variabele uitdrukkingen, waaronder veeltermen, te vereenvoudigen. Beschouw factoring als het tegenovergestelde van vermenigvuldigen met het deel tussen haakjes in de bovenstaande stap - soms kan een uitdrukking worden gezien als twee delen die met elkaar worden vermenigvuldigd, in plaats van als een eenheidsuitdrukking. Dit is met name het geval als het ontbinden van een vergelijking u in staat stelt een van de delen ervan door te strepen (zoals in breuken). In bepaalde gevallen (vaak met kwadratische vergelijkingen), kan factoring u zelfs in staat stellen de oplossing van de vergelijking te vinden.
- Laten we opnieuw de uitdrukking x. aannemen2 - 5x + 6. Deze uitdrukking kan worden ontbonden tot (x - 3)(x - 2). Dus, als x2 - 5x + 6 is de teller van een gegeven vergelijking waarbij de noemer een van deze factoren heeft, zoals in de uitdrukking (x2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), misschien willen we het in factorvorm schrijven, zodat we de factor met de noemer kunnen doorstrepen. Met andere woorden, in (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), kan het deel (x - 2) worden doorgestreept om (x - 3)/2 te zijn.
-
Zoals hierboven aangegeven, is een andere reden waarom u uw vergelijkingen wilt ontbinden, dat factoring u antwoorden op bepaalde vergelijkingen kan geven, vooral als ze zijn geschreven als gelijk aan 0. Bijvoorbeeld vergelijking x2 - 5x + 6 = 0. Factoring geeft (x - 3)(x - 2) = 0. Aangezien elk getal vermenigvuldigd met nul gelijk is aan nul, weten we dat als een deel van de haakjes gelijk is aan nul, de hele vergelijking links van het gelijkteken, is ook nul. Zodat
Stap 3. da
Stap 2. zijn de twee antwoorden op de vergelijking.
