Een rationale vergelijking is een breuk met een of meer variabelen in de teller of noemer. Een rationale vergelijking is elke breuk die ten minste één rationale vergelijking omvat. Net als gewone algebraïsche vergelijkingen, worden rationale vergelijkingen opgelost door dezelfde bewerking aan beide zijden van de vergelijking uit te voeren totdat de variabelen naar beide zijden van de vergelijking kunnen worden overgedragen. Twee speciale technieken, kruisvermenigvuldiging en het vinden van de kleinste gemene deler, zijn zeer bruikbare manieren om variabelen te verplaatsen en rationale vergelijkingen op te lossen.
Stap
Methode 1 van 2: Kruisvermenigvuldiging
Stap 1. Herschik indien nodig uw vergelijking om een breuk aan één kant van de vergelijking te krijgen
Kruisvermenigvuldiging is een snelle en gemakkelijke manier om rationale vergelijkingen op te lossen. Helaas kan deze methode alleen worden gebruikt voor rationale vergelijkingen die ten minste één rationale vergelijking of breuk aan elke kant van de vergelijking bevatten. Als uw vergelijking niet aan deze productoverschrijdende vereisten voldoet, moet u mogelijk algebraïsche bewerkingen gebruiken om de onderdelen naar de juiste plaatsen te verplaatsen.
-
De vergelijking (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 kan bijvoorbeeld gemakkelijk in de vorm van een product als product worden gebracht door x/(-2) aan beide zijden van de vergelijking toe te voegen, zodat het (x + 3)/4 = x/(-2).
Merk op dat decimale en gehele getallen kunnen worden omgezet in breuken door de noemer 1 te geven. (x + 3)/4 – 2, 5 = 5 kan bijvoorbeeld worden herschreven als (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, waardoor het voldoet aan de voorwaarde van kruisvermenigvuldiging
- Sommige rationale vergelijkingen kunnen niet gemakkelijk worden teruggebracht tot een vorm met aan elke kant één breuk of rationale vergelijking. Gebruik in dergelijke gevallen dezelfde benadering van de kleinste noemer.
Stap 2. Kruis vermenigvuldigen
Kruisvermenigvuldiging betekent het vermenigvuldigen van een van de tellers van een breuk met de noemer van een andere breuk en vice versa. Vermenigvuldig de teller van de breuk aan de linkerkant met de noemer van de breuk aan de rechterkant. Herhaal met de rechter noemer met de linker noemer.
Kruisvermenigvuldiging werkt volgens algebraïsche basisprincipes. Rationele vergelijkingen en andere breuken kunnen worden gemaakt in niet-breuken door ze te vermenigvuldigen met de noemer. Kruisproduct is in feite een snelle manier om beide zijden van een vergelijking met beide noemers te vermenigvuldigen. Niet geloven? Probeer het eens - je krijgt hetzelfde resultaat nadat je het hebt vereenvoudigd
Stap 3. Maak de twee producten gelijk aan elkaar
Na kruisvermenigvuldiging krijgt u twee vermenigvuldigingsresultaten. Maak ze gelijk aan elkaar en vereenvoudig om de vergelijking zo eenvoudig mogelijk te maken.
Als uw oorspronkelijke rationale vergelijking bijvoorbeeld (x+3)/4 = x/(-2) was, wordt uw nieuwe vergelijking na kruislingse vermenigvuldiging -2(x+3) = 4x. Als je wilt, kun je het ook schrijven als -2x - 6 = 4x
Stap 4. Zoek de waarde van uw variabele
Gebruik algebraïsche bewerkingen om de waarde van de variabele van uw vergelijking te vinden. Onthoud dat als x aan beide kanten van de vergelijking verschijnt, je x van beide kanten van de vergelijking moet optellen of aftrekken om x aan slechts één kant van de vergelijking te laten staan.
In ons voorbeeld kunnen we beide zijden van de vergelijking delen door -2, dus x+3 = -2x. Als je x van beide kanten aftrekt, krijg je 3 = -3x. Ten slotte, door beide zijden te delen door -3, wordt het resultaat -1 = x, wat kan worden geschreven als x = -1. We hebben de waarde van x gevonden en onze rationale vergelijking opgelost
Methode 2 van 2: De kleinste gemene deler vinden
Stap 1. Weet de exacte tijd om dezelfde kleinste noemer te gebruiken
Dezelfde kleinste noemer kan worden gebruikt om rationale vergelijkingen te vereenvoudigen, waardoor ze doorzoekbaar zijn voor variabele waarden. Het vinden van de kleinste gemene deler is een goed idee als je rationale vergelijking niet gemakkelijk kan worden geschreven in termen van één breuk (en slechts één breuk) aan elke kant van de vergelijking. Voor het oplossen van rationale vergelijkingen met drie of meer delen is de kleinste gemene deler nuttig. Om een rationale vergelijking met slechts twee delen op te lossen, is het echter sneller om kruisproduct te gebruiken.
Stap 2. Controleer de noemer van elke breuk
Identificeer het kleinste getal dat elke noemer kan delen en produceer een geheel getal. Dit getal is de kleinste gemene deler voor je vergelijking.
- Soms is de kleinste gemene deler – dat wil zeggen het kleinste getal dat alle factoren in de noemer heeft – duidelijk zichtbaar. Als uw vergelijking bijvoorbeeld x/3 + 1/2 = (3x+1)/6 is, is het niet moeilijk om het kleinste getal te zien met een factor 3, 2 en 6, wat het getal 6 is.
- Vaak is de kleinste gemene deler van een rationale vergelijking echter niet duidelijk zichtbaar. Probeer in een dergelijk geval de veelvouden van de grotere noemer te controleren totdat u een getal vindt dat een factor heeft van alle andere kleinere noemers. Vaak is de kleinste gemene deler het product van twee noemers. In de vergelijking x/8 + 2/6 = (x-3)/9 is de kleinste gemene deler bijvoorbeeld 8*9 = 72.
- Als een of meer noemers van uw breuk variabelen hebben, is dit proces moeilijker, maar mogelijk. In een dergelijk geval is de kleinste gemene deler een vergelijking (met een variabele) die deelbaar is door alle andere noemers. Bijvoorbeeld in de vergelijking 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), is de kleinste gemene deler 3x(x-1) omdat elke noemer het kan delen - delen door (x-1) geeft 3x, delen door 3x geeft (x-1) en delen door x geeft 3(x-1).
Stap 3. Vermenigvuldig elke breuk in de rationale vergelijking met 1
Elk deel met 1 vermenigvuldigen lijkt nutteloos. Maar hier is de truc. 1 kan worden gedefinieerd als elk getal dat hetzelfde is in zowel de teller als de noemer, zoals -2/2 en 3/3, wat de juiste manier is om 1 te schrijven. Deze methode maakt gebruik van de alternatieve definitie. Vermenigvuldig elke breuk in uw rationale vergelijking met 1, noteer het getal 1 dat, wanneer vermenigvuldigd met de noemer, de kleinste gemene deler geeft.
- In ons basisvoorbeeld vermenigvuldigen we x/3 met 2/2 om 2x/6 te krijgen en vermenigvuldigen we 1/2 met 3/3 om 3/6 te krijgen. 2x + 1/6 heeft al dezelfde kleinste noemer, namelijk 6, dus we kunnen het vermenigvuldigen met 1/1 of laten staan.
- In ons voorbeeld met een variabele in de noemer van de breuk is het proces iets gecompliceerder. Aangezien onze kleinste noemer 3x(x-1) is, vermenigvuldigen we elke rationale vergelijking met iets dat 3x(x-1) teruggeeft. We vermenigvuldigen 5/(x-1) met (3x)/(3x) wat 5(3x)/(3x)(x-1) oplevert, vermenigvuldigen 1/x met 3(x-1)/3(x- 1) wat 3(x-1)/3x(x-1) geeft, en vermenigvuldiging van 2/(3x) met (x-1)/(x-1) geeft 2(x-1)/3x(x- 1).
Stap 4. Vereenvoudig en vind de waarde van x
Omdat elk deel van je rationale vergelijking dezelfde noemer heeft, kun je de noemer uit je vergelijking verwijderen en de teller oplossen. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking om de tellerwaarde te krijgen. Gebruik vervolgens algebraïsche bewerkingen om de waarde van x (of welke variabele u ook wilt oplossen) aan één kant van de vergelijking te vinden.
- In ons basisvoorbeeld krijgen we, na alle delen te vermenigvuldigen met de alternatieve vorm 1, 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Twee breuken kunnen worden opgeteld als ze dezelfde noemer hebben, dus we kunnen deze vergelijking vereenvoudigen tot (2x+3)/6 = (3x+1)/6 zonder de waarde te veranderen. Vermenigvuldig beide zijden met 6 om de noemer te verwijderen, dus het resultaat is 2x+3 = 3x+1. Trek 1 van beide kanten af om 2x+2 = 3x te krijgen, en trek 2x van beide kanten af om 2 = x te krijgen, wat kan worden geschreven als x = 2.
- In ons voorbeeld met een variabele in de noemer, wordt onze vergelijking na vermenigvuldiging met 1 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) /3x(x-1). Door alle delen te vermenigvuldigen met dezelfde kleinste noemer, zodat we de noemer kunnen weglaten, wordt 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Dit geldt ook voor 5x = 3x - 3 + 2x -2, wat vereenvoudigt tot 15x = x - 5. Aftrekken van x van beide kanten geeft 14x = -5, wat uiteindelijk vereenvoudigt tot x = -5/14.
Tips
- Als je de variabele hebt opgelost, controleer je je antwoord door de waarde van de variabele in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen. Als uw variabelewaarde correct is, kunt u uw oorspronkelijke vergelijking vereenvoudigen tot een eenvoudige verklaring die altijd gelijk is aan 1 = 1.
- Merk op dat je elke polynoom als een rationale vergelijking kunt schrijven; zet het boven de noemer 1. Dus x+3 en (x+3)/1 hebben dezelfde waarde, maar de tweede vergelijking kan worden geclassificeerd als een rationale vergelijking omdat deze als een breuk wordt geschreven.
