Snelheid wordt gedefinieerd als de snelheid van een object in een bepaalde richting. In veel situaties kunnen we om de snelheid te vinden de vergelijking v = s/t gebruiken, waarbij v gelijk is aan snelheid, s gelijk is aan de totale afstand die het object heeft afgelegd vanaf zijn oorspronkelijke positie en t gelijk is aan tijd. Deze methode geeft echter alleen de "gemiddelde" snelheidswaarde van het object over zijn verplaatsing. Met behulp van calculus kunt u de snelheid van een object op elk punt langs zijn verplaatsing berekenen. Deze waarde wordt de "onmiddellijke snelheid" genoemd en kan worden berekend met de vergelijking v = (ds)/(dt), of, met andere woorden, is de afgeleide van de vergelijking voor de gemiddelde snelheid van het object.
Stap
Methode 1 van 3: Momentane snelheid berekenen
Stap 1. Begin met de vergelijking voor de snelheid van de verplaatsing van het object
Om de waarde van de momentane snelheid van een object te krijgen, moeten we eerst een vergelijking hebben die zijn positie (in termen van zijn verplaatsing) op een bepaald tijdstip beschrijft. Dit betekent dat de vergelijking een variabele moet hebben s (die alleen staat) aan de ene kant, en t aan de andere kant (maar niet noodzakelijk op zichzelf), zoals dit:
s = -1,5t2+10t+4
-
In de vergelijking zijn de variabelen:
-
-
Verplaatsing = s. Dat is de afstand die het object vanaf het beginpunt heeft afgelegd. Als een object bijvoorbeeld 10 meter vooruit en 7 meter terug reist, dan is de totale afgelegde afstand 10 - 7 = 3 meter (niet 10 + 7 = 17 meter).
-
Tijd = t. Deze variabele spreekt voor zich. Meestal uitgedrukt in seconden. # Neem de afgeleide van de vergelijking. De afgeleide van een vergelijking is een andere vergelijking die de hellingswaarde vanaf een bepaald punt kan geven. Om de afgeleide van de formule voor de verplaatsing van een object te vinden, leidt u de functie af met behulp van de volgende algemene regel: Als y = a*x , Afgeleide = a*n*xn-1. Deze regel is van toepassing op elk onderdeel dat zich aan de "t"-kant van de vergelijking bevindt.
Bereken ogenblikkelijke snelheid Stap 2
-
-
- Met andere woorden, begin met het afdalen van de "t"-kant van de vergelijking van links naar rechts. Telkens wanneer u de "t"-waarde bereikt, trekt u 1 af van de exponentwaarde en vermenigvuldigt u het geheel met de oorspronkelijke exponent. Alle constanten (variabelen die geen "t" bevatten) gaan verloren omdat ze worden vermenigvuldigd met 0. Dit proces is niet zo moeilijk als men zou denken, laten we als voorbeeld de vergelijking in de bovenstaande stap afleiden:
s = -1,5t2+10t+4
(2)-1.5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Stap 2. Vervang de variabele "s" door "ds/dt
"Om aan te tonen dat uw nieuwe vergelijking de afgeleide is van de vorige vergelijking, vervangt u "s" door "ds/dt". Technisch gezien betekent deze notatie "afgeleide van s met betrekking tot t." Een eenvoudigere manier om dit te begrijpen is dat ds /dt is de waarde van de helling (helling) op een willekeurig punt in de eerste vergelijking, bijvoorbeeld om de helling te bepalen van een lijn getrokken uit de vergelijking s = -1,5t2 + 10t + 4 op t = 5, kunnen we de waarde "5" in de afgeleide vergelijking stoppen.
- In het gebruikte voorbeeld ziet de eerste afgeleide vergelijking er nu als volgt uit:
ds/sec = -3t + 10
Stap 3. Vul de waarde van t in de nieuwe vergelijking in om de momentane snelheidswaarde te krijgen
Nu je de afgeleide vergelijking hebt, is het gemakkelijk om de momentane snelheid op elk punt te vinden. Het enige dat u hoeft te doen, is een waarde voor t kiezen en deze in uw afgeleide vergelijking invullen. Als u bijvoorbeeld de momentane snelheid op t = 5 wilt vinden, kunt u de waarde van t vervangen door "5" in de afgeleide vergelijking ds/dt = -3 + 10. Los de vergelijking dan als volgt op:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3(5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 meter/seconde
Merk op dat de hierboven gebruikte eenheid "meter/seconde" is. Omdat wat we berekenen verplaatsing in meters en tijd in seconden (seconden) is en snelheid in het algemeen verplaatsing in een bepaalde tijd is, is deze eenheid geschikt om te gebruiken
Methode 2 van 3: Grafische schatting van de momentane snelheid
Stap 1. Teken een grafiek van de verplaatsing van het object in de tijd
In het bovenstaande gedeelte wordt de afgeleide genoemd als de formule voor het vinden van de helling op een bepaald punt voor de vergelijking die u afleidt. Als je de verplaatsing van een object als een lijn in een grafiek weergeeft, is 'de helling van de lijn op alle punten gelijk aan de waarde van zijn momentane snelheid op dat punt'.
- Om de verplaatsing van een object te beschrijven, gebruikt u x voor tijd en y voor verplaatsing. Teken vervolgens de punten, vul de waarde van t in uw vergelijking in, zodat u de waarde van s voor uw grafiek krijgt, markeer t, s in de grafiek als (x, y).
- Merk op dat uw grafiek zich onder de x-as kan uitstrekken. Als de lijn die de beweging van uw object weergeeft, onder de x-as reikt, betekent dit dat het object achteruit is bewogen vanaf zijn oorspronkelijke positie. Over het algemeen zal uw grafiek de achterkant van de y-as niet bereiken - omdat we niet de snelheid meten van een voorbijgaand object!
Stap 2. Selecteer een aangrenzend punt P en Q in de lijn
Om de helling van de lijn in een punt P te krijgen, kunnen we een truc gebruiken die 'de limiet nemen' wordt genoemd. Het nemen van de limiet omvat twee punten (P en Q, een punt in de buurt) op de gebogen lijn en het vinden van de helling van de lijn door ze vele malen met elkaar te verbinden totdat de afstanden P en Q dichterbij komen.
Laten we zeggen dat de verplaatsingslijn van het object de waarden (1, 3) en (4, 7) bevat. In dit geval, als we de helling in het punt (1, 3) willen vinden, kunnen we bepalen: (1, 3) = P en (4, 7) = Q.
Stap 3. Zoek de helling tussen P en Q
De helling tussen P en Q is het verschil in y-waarden voor P en Q langs het x-as waardeverschil voor P en Q. Met andere woorden, H = (yQ - jaP)/(xQ - xP), waarbij H de helling tussen de twee punten is. In ons voorbeeld is de waarde van de helling tussen P en Q
H = (yQ- jaP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Stap 4. Herhaal dit meerdere keren, waarbij u Q dichter bij P brengt
Je doel is om de afstand tussen P en Q te verkleinen om op een punt te lijken. Hoe kleiner de afstand tussen P en Q, hoe dichter de helling van de lijn in punt P. Doe dit meerdere keren met de vergelijking die als voorbeeld wordt gebruikt, met de punten (2, 4.8), (1.5, 3.95) en (1.25, 3.49) als Q en het startpunt (1, 3) als P:
V = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
V = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Stap 5. Schat de helling van de lijn voor een zeer kleine afstand
Naarmate Q dichter bij P komt, komt H steeds dichter bij de waarde van de helling van het punt P. Uiteindelijk, wanneer het een zeer kleine waarde bereikt, is H gelijk aan de helling van P. Aangezien we zeer kleine afstanden niet kunnen meten of berekenen, we kunnen de helling op P alleen schatten als het duidelijk is vanaf het punt dat we proberen.
- In het voorbeeld, als we Q dichter bij P brengen, krijgen we waarden van 1,8, 1,9 en 1,96 voor H. Aangezien deze getallen dicht bij 2 liggen, kunnen we zeggen dat 2 de geschatte helling van P is.
- Onthoud dat de helling op een bepaald punt op de lijn gelijk is aan de afgeleide van de vergelijking van de lijn. Aangezien de gebruikte lijn de verplaatsing van een object in de tijd weergeeft, en omdat, zoals we in de vorige paragraaf zagen, de momentane snelheid van een object de afgeleide is van zijn verplaatsing op een bepaald punt, kunnen we ook stellen dat "2 meter/seconde " is de geschatte waarde van de momentane snelheid op t = 1.
Methode 3 van 3: Voorbeeldvragen
Stap 1. Zoek de waarde van de momentane snelheid op t = 4, uit de verplaatsingsvergelijking s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Dit probleem is hetzelfde als het voorbeeld in het eerste deel, behalve dat deze vergelijking een kubusvergelijking is, geen machtsvergelijking, dus we kunnen dit probleem op dezelfde manier oplossen.
- Eerst nemen we de afgeleide van de vergelijking:
- Voer vervolgens de waarde van t(4) in:
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter/seconde
Stap 2. Gebruik een grafische schatting om de momentane snelheid bij (1, 3) te vinden voor de verplaatsingsvergelijking s = 4t2 - t.
Voor dit probleem gebruiken we (1, 3) als het punt P, maar we moeten een ander punt naast dat punt definiëren als het punt Q. Dan hoeven we alleen de waarde van H te bepalen en een schatting te maken.
- Zoek eerst de waarde van Q op t = 2, 1.5, 1.1 en 1.01.
- Bepaal vervolgens de waarde van H:
- Aangezien de waarde van H heel dicht bij 7 ligt, kunnen we stellen dat: 7 meter/secondeis de geschatte momentane snelheid bij (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, dus Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4(1,5)2 - (1.5)
4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, dus Q = (1,5, 7,5)
t = 1.1:
s = 4(1.1)2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, dus Q = (1.1, 3.74)
t = 1.01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, dus Q = (1.01, 3.0704)
V = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Stap 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(.5) =
Stap 9.
V = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Tips
- Om de waarde van versnelling (verandering in snelheid in de tijd) te vinden, gebruikt u de methode in de eerste sectie om de vergelijking voor de afgeleide van de verplaatsingsfunctie te krijgen. Maak vervolgens opnieuw de afgeleide vergelijking, deze keer van uw afgeleide vergelijking. Dit geeft je de vergelijking om de versnelling op een bepaald moment te vinden, het enige wat je hoeft te doen is je tijdswaarde in te voeren.
- De vergelijking die de waarde van Y (verplaatsing) aan X (tijd) relateert, kan heel eenvoudig zijn, bijvoorbeeld Y = 6x + 3. In dit geval is de hellingswaarde constant en is het niet nodig om de afgeleide te vinden om deze te berekenen, waarbij volgens de vergelijking van een rechte lijn, Y = mx + b gelijk is aan 6.
- Verplaatsing is vergelijkbaar met afstand, maar heeft een richting, dus verplaatsing is een vectorgrootheid, terwijl afstand een scalaire grootheid is. De verplaatsingswaarde kan negatief zijn, maar de afstand zal altijd positief zijn.
