Impliciete functies afleiden: 7 stappen (met afbeeldingen)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-19 22:13

In calculus, als je een vergelijking voor y hebt geschreven in de vorm x (bijv. y = x² -3x), is het gemakkelijk om basisafleidingstechnieken te gebruiken (door wiskundigen aangeduid als impliciete functieafgeleide technieken) om de afgeleide te vinden. Voor vergelijkingen die moeilijk te construeren zijn met alleen de y-term aan één kant van het isgelijkteken (bijv. x² + ja² - 5x + 8j + 2xj² = 19), is een andere aanpak nodig. Met een techniek die impliciete functiederivaten wordt genoemd, is het gemakkelijk om afgeleiden van multivariabele vergelijkingen te vinden, zolang je de basis van expliciete functiederivaten kent!

Stap

Methode 1 van 2: Snel eenvoudige vergelijkingen afleiden

Stap 1. Leid de x-termen af zoals gewoonlijk

Bij het afleiden van een multivariabele vergelijking zoals x² + ja² - 5x + 8j + 2xj² = 19, kan het moeilijk zijn om te weten waar te beginnen. Gelukkig is de eerste stap van de afgeleide van een impliciete functie de gemakkelijkste. Leid de x-termen en de constanten aan beide kanten van de vergelijking af volgens de regels van gewone (expliciete) afgeleiden om mee te beginnen. Negeer de y-termen voorlopig.

• Laten we proberen een voorbeeld van de eenvoudige vergelijking hierboven af te leiden. x² + ja² - 5x + 8j + 2xj² = 19 heeft twee termen x: x² en -5x. Als we een vergelijking willen afleiden, moeten we dit eerst doen, als volgt:

  x² + ja² - 5x + 8j + 2xj² = 19

  (Verminder tot de macht 2 in x² als coëfficiënt, verwijder x in -5x en verander 19 in 0)

  2x + ja² - 5 + 8j + 2xj² = 0

Stap 2. Leid de y-termen af en voeg (dy/dx) toe naast elke term

Voor uw volgende stap leidt u de y-termen af op dezelfde manier waarop u de x-termen hebt afgeleid. Voeg deze keer echter (dy/dx) toe naast elke term zoals u coëfficiënten zou toevoegen. Als u bijvoorbeeld y², dan wordt de afgeleide 2y(dy/dx). Negeer voorlopig de termen met x en y.

• In ons voorbeeld ziet onze vergelijking er nu als volgt uit: 2x + y² - 5 + 8j + 2xj² = 0. We zullen de volgende stap voor het afleiden van y als volgt uitvoeren:

  2x + ja² - 5 + 8j + 2xj² = 0

  (Verlaag tot de macht 2 in y² als coëfficiënten, verwijder y in 8y en zet dy/dx naast elke term).

  2x + 2j(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Stap 3. Gebruik de productregel of de quotiëntregel voor termen met x en y

Werken met termen met x en y is een beetje lastig, maar als je de regels voor het product en het quotiënt voor afgeleiden kent, zul je het gemakkelijk vinden. Als de termen x en y worden vermenigvuldigd, gebruik dan de productregel ((f × g)' = f' × g + g × f'), waarbij de x-term voor f en de y-term voor g wordt vervangen. Aan de andere kant, als de termen x en y elkaar uitsluiten, gebruik dan de quotiëntregel ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), waarbij de teller wordt vervangen door f en de noemer door g.

• In ons voorbeeld, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, we hebben maar één term met x en y - 2xy². Aangezien x en y met elkaar worden vermenigvuldigd, zullen we de productregel gebruiken om als volgt af te leiden:

  2xy² = (2x)(y²)- stel 2x = f en y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2j(dy/dx))

  (f × g)' = 2 jaar² + 4xy(dy/dx)

• Als we dit toevoegen aan onze hoofdvergelijking, krijgen we 2x + 2j(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

Stap 4. Alleen (dy/dx)

Je bent bijna klaar! Nu hoef je alleen nog maar de vergelijking op te lossen (dy/dx). Dit lijkt moeilijk, maar is het meestal niet - onthoud dat elke twee termen a en b vermenigvuldigd met (dy/dx) kunnen worden geschreven als (a + b)(dy/dx) vanwege de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging. Deze tactiek kan het isoleren (dy/dx) gemakkelijker maken - verplaats gewoon alle andere termen aan de andere kant van de haakjes en deel ze dan door de termen tussen de haakjes naast (dy/dx).

• In ons voorbeeld vereenvoudigen we 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 als volgt:

  2x + 2j(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2j + 8 + 4x)(dy/dx) + 2x - 5 + 2j² = 0

  (2j + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2j² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2j + 8 + 4x)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Methode 2 van 2: Geavanceerde technieken gebruiken

Stap 1. Voer de waarde (x, y) in om (dy/dx) voor een willekeurig punt te vinden

Veilig! Je hebt je vergelijking al impliciet afgeleid - geen gemakkelijke klus bij de eerste poging! Het gebruik van deze vergelijking om de gradiënt (dy/dx) voor elk punt (x, y) te vinden, is net zo eenvoudig als de x- en y-waarden voor uw punt aan de rechterkant van de vergelijking plaatsen en vervolgens (dy/dx) vinden.

• Stel dat we de gradiënt willen vinden op het punt (3, -4) voor onze voorbeeldvergelijking hierboven. Om dit te doen, vervangen we 3 voor x en -4 voor y, waarbij we als volgt oplossen:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, of 0, 6875.

Stap 2. Gebruik de kettingregel voor functies-in-functies

De kettingregel is een belangrijk stuk kennis om te hebben bij het werken aan calculusproblemen (inclusief impliciete functieafgeleide problemen). De kettingregel stelt dat voor een functie F(x) die kan worden geschreven als (f O g)(x), de afgeleide van F(x) is gelijk aan f'(g(x))g'(x). Voor moeilijke afgeleide problemen van impliciete functies betekent dit dat het mogelijk is om de verschillende afzonderlijke delen van de vergelijking af te leiden en vervolgens de resultaten te combineren.

• Stel dat we als eenvoudig voorbeeld de afgeleide van sin (3x² + x) als onderdeel van het grotere impliciete functieafgeleideprobleem voor de vergelijking sin (3x² +x) + y³ = 0. Als we ons zonde voorstellen (3x² + x) als f(x) en 3x² + x als g(x), kunnen we de afgeleide als volgt vinden:

  f'(g(x))g'(x)

  (zonde (3x² + x))' × (3x² +x)'

  cos(3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x² +x)

Stap 3. Voor vergelijkingen met de variabelen x, y en z, zoek (dz/dx) en (dz/dy)

Hoewel ongebruikelijk in elementaire calculus, kunnen sommige geavanceerde toepassingen de afleiding van impliciete functies van meer dan twee variabelen vereisen. Voor elke extra variabele moet je zijn extra afgeleide vinden met betrekking tot x. Als u bijvoorbeeld x, y en z hebt, moet u zoeken naar zowel (dz/dy) als (dz/dx). We kunnen dit doen door de vergelijking met betrekking tot x twee keer af te leiden - ten eerste voeren we (dz/dx) in elke keer dat we een term afleiden die z bevat, en ten tweede voegen we (dz/dy) in elke keer dat we afleiden z. Hierna is het een kwestie van oplossen (dz/dx) en (dz/dy).

• Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we x. proberen af te leiden³z² - 5xy⁵z = x² + ja³.

• Laten we eerst afleiden uit x en invoeren (dz/dx). Vergeet niet de productregel toe te passen indien nodig!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + ja³

  3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5j⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 jaar⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 jaar⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Doe nu hetzelfde voor (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + ja³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)