Elke functie heeft twee variabelen, namelijk de onafhankelijke variabele en de afhankelijke variabele. Letterlijk is de waarde van de afhankelijke variabele "afhankelijk" van de onafhankelijke variabele. In de functie y = f(x) = 2 x + y is x bijvoorbeeld de onafhankelijke variabele en is y de afhankelijke variabele (met andere woorden, y is een functie van x). Geldige waarden voor de bekende variabele x worden "domains of origin" genoemd. Geldige waarden voor de bekende y-variabele worden het "resultaatbereik" genoemd.
Stap
Deel 1 van 3: Het domein van een functie vinden
Stap 1. Bepaal wat voor soort functie je gaat uitoefenen
Het domein van de functie is alle x-waarden (horizontale as) die geldige y-waarden zullen retourneren. De vergelijking van de functie kan een kwadratische of een breuk zijn of een wortel bevatten. Om het domein van de functie te berekenen, moet u eerst de variabelen in de vergelijking onderzoeken.
- Een kwadratische functie heeft de vorm ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4
- Voorbeelden van functies met breuken zijn: f(x) = (1/x), f(x) = (x+1)/(x - 1), en anderen.
- Functies met wortels zijn: f(x) = x, f(x) = (x2 + 1), f(x) = -x, enzovoort.
Stap 2. Noteer het domein met de juiste notatie
Het schrijven van het domein van een functie omvat het gebruik van vierkante haakjes [,] en haakjes (,). Gebruik vierkante haken [,] als het nummer bij het domein hoort en haakjes (,) als het domein het nummer niet bevat. De letter U duidt een unie aan die delen van het domein verbindt die door een afstand van elkaar gescheiden kunnen zijn.
- Het domein van [-2, 10) U (10, 2] omvat bijvoorbeeld -2 en 2, maar niet het getal 10.
- Gebruik altijd haakjes () als u het oneindigheidssymbool gebruikt,.
Stap 3. Teken een grafiek van de kwadratische vergelijking
Kwadratische vergelijkingen produceren een parabolische grafiek die naar boven of naar beneden opent. Aangezien de parabool oneindig op de x-as zal doorgaan, is het domein van de meeste kwadratische vergelijkingen alle reële getallen. Anders gezegd, een kwadratische vergelijking omvat alle x-waarden op de getallenlijn, waardoor het domein R (symbool voor alle reële getallen).
- Om de functie op te lossen, kiest u een x-waarde en voert u deze in de functie in. Het oplossen van een functie met een x-waarde zal een y-waarde opleveren. De waarden van x en y zijn de (x, y) coördinaten van een grafiek van de functie.
- Zet deze coördinaten in een grafiek en herhaal het proces met een andere x-waarde.
- Door enkele waarden in dit model uit te zetten, krijgt u een overzicht van de vorm van de kwadratische functie.
Stap 4. Als de vergelijking van de functie een breuk is, maak dan de noemer gelijk aan nul
Als je met breuken werkt, kun je nooit delen door nul. Door de noemer gelijk aan nul te maken en de waarde van x te vinden, kunt u de waarden berekenen die u uit de functie wilt extraheren.
- Bijvoorbeeld: Bepaal het domein van de functie f(x) = (x+1)/(x - 1).
- De noemer van de functie is (x - 1).
- Maak de noemer gelijk aan nul en bereken de waarde van x: x – 1 = 0, x = 1.
- Noteer het domein: Het domein van de functie omvat niet 1, maar bevat alle reële getallen behalve 1; daarom is het domein (-∞, 1) U(1,).
- (-∞, 1) U (1,) kan worden gelezen als een verzameling van alle reële getallen behalve 1. Het symbool voor oneindig,, staat voor alle reële getallen. In dit geval worden alle reële getallen groter dan 1 en kleiner dan 1 in het domein opgenomen.
Stap 5. Als de vergelijking een wortelfunctie is, maakt u de wortelvariabelen groter dan of gelijk aan nul
U kunt de vierkantswortel van een negatief getal niet gebruiken; daarom moet elke x-waarde die tot een negatief getal leidt, uit het domein van de functie worden verwijderd.
- Bijvoorbeeld: Zoek het domein van de functie f(x) = (x + 3).
- De variabelen in de wortel zijn (x + 3).
- Maak de waarde groter dan of gelijk aan nul: (x + 3) 0.
- Bereken de waarde voor x: x -3. Los op voor x: x -3.
- Het domein van de functie omvat alle reële getallen groter dan of gelijk aan -3; daarom is het domein [-3,).
Deel 2 van 3: Het bereik van een kwadratische vergelijking vinden
Stap 1. Zorg dat je een kwadratische functie hebt
De kwadratische functie heeft de vorm ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. De grafiek van de kwadratische functie is een parabool die naar boven of naar beneden opent. Er zijn verschillende manieren om het bereik van de functie te berekenen, afhankelijk van het type functie waaraan u werkt.
De eenvoudigste manier om het bereik van andere functies te bepalen, zoals een wortelfunctie of een breukfunctie, is door de functie in een grafiek uit te zetten met een grafische rekenmachine
Stap 2. Zoek de x-waarde van het hoekpunt van de functie
Het hoekpunt van een kwadratische functie is het hoekpunt van de parabool. Onthoud dat de vorm van de kwadratische functie ax. is2 + bx + c. Gebruik de vergelijking x = -b/2a om de x-coördinaat te vinden. De vergelijking is een afgeleide van een fundamentele kwadratische functie die een vergelijking vertegenwoordigt met een helling/helling nul (op het hoekpunt van de grafiek is de helling van de functie nul).
- Zoek bijvoorbeeld het bereik van 3x2 + 6x -2.
- Bereken de x-coördinaat van het hoekpunt: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Stap 3. Bereken de y-waarde van het hoekpunt van de functie
Steek de x-coördinaat in de functie om de corresponderende y-waarde van het hoekpunt te berekenen. Deze y-waarde geeft de limiet van het bereik van de functie aan.
- Bereken de y-coördinaat: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Het hoekpunt van deze functie is (-1, -5).
Stap 4. Bepaal de richting van de parabool door minimaal nog één x-waarde in te pluggen
Kies een andere x-waarde en steek deze in de functie om de juiste y-waarde te berekenen. Als de y-waarde boven het hoekpunt ligt, gaat de parabool verder naar +∞. Als de y-waarde onder het hoekpunt ligt, gaat de parabool verder naar -∞.
- Gebruik x-waarde -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Deze berekening retourneert de coördinaten (-2, -2).
- Deze coördinaten laten zien dat de parabool doorgaat boven het hoekpunt (-1, -5); daarom omvat het bereik alle y-waarden hoger dan -5.
- Het bereik van deze functie is [-5,).
Stap 5. Noteer het bereik met de juiste notatie
Net als domeinen worden bereiken met dezelfde notatie geschreven. Gebruik vierkante haken [,] als het nummer binnen het bereik valt en gebruik haakjes (,) als het bereik het nummer niet bevat. De letter U geeft een verbinding aan die delen van het bereik verbindt die door een afstand van elkaar kunnen worden gescheiden.
- Het bereik van [-2, 10) U (10, 2] omvat bijvoorbeeld -2 en 2, maar niet het getal 10.
- Gebruik altijd haakjes als u het oneindigheidssymbool,.
Deel 3 van 3: Het bereik vinden in de grafiek van een functie
Stap 1. Teken de functie
Vaak is de eenvoudigste manier om het bereik van een functie te bepalen, deze in een grafiek te zetten. Veel wortelfuncties hebben een bereik (-∞, 0] of [0, +∞) omdat het hoekpunt van de horizontale parabool (zijwaartse parabool) zich op de horizontale x-as bevindt. In dit geval omvat de functie alle positieve y-waarden als de parabool zich opent, of alle negatieve y-waarden als de parabool naar beneden opent. Fractionele functies hebben asymptoten (lijnen die nooit door een rechte lijn/kromme worden gesneden maar tot in het oneindige worden benaderd) die het bereik van de functie bepalen.
- Sommige hoofdfuncties beginnen boven of onder de x-as. In dit geval wordt het bereik bepaald door het nummer waar de wortelfunctie begint. Als de parabool begint bij y = -4 en omhoog gaat, is het bereik [-4, +∞).
- De eenvoudigste manier om een functie te tekenen is door een grafisch programma of grafische rekenmachine te gebruiken.
- Als je geen grafische rekenmachine hebt, kun je een ruwe schets van de grafiek maken door de x-waarde in de functie te pluggen en de juiste y-waarde te krijgen. Zet deze coördinaten in een grafiek om een idee te krijgen van hoe de grafiek eruitziet.
Stap 2. Zoek de minimumwaarde van de functie
Onmiddellijk na het tekenen van de functie zou u het laagste punt van de grafiek duidelijk moeten kunnen zien. Als er geen duidelijke minimumwaarde is, weet dan dat sommige functies doorgaan op -∞ (oneindig).
Een breukfunctie omvat alle punten behalve die op de asymptoten. De functie heeft een bereik zoals (-∞, 6) U (6,)
Stap 3. Bepaal de maximale waarde van de functie
Nogmaals, na het tekenen van de grafiek zou u het maximale punt van de functie moeten kunnen identificeren. Sommige functies gaan door op +∞ en hebben daarom geen minimumwaarde.
Stap 4. Schrijf het bereik met de juiste notatie
Net als domeinen worden bereiken met dezelfde notatie geschreven. Gebruik vierkante haken [,] als het nummer binnen het bereik valt en gebruik haakjes (,) als het bereik het nummer niet bevat. De letter U geeft een verbinding aan die delen van het bereik verbindt die mogelijk op afstand van elkaar zijn gescheiden.
- Het bereik van [-2, 10) U (10, 2] omvat bijvoorbeeld -2 en 2, maar niet het getal 10.
- Gebruik altijd haakjes als u het oneindigheidssymbool,.
