Dit is een artikel over het ontbinden van een kubuspolynoom. We zullen onderzoeken hoe u factoring kunt gebruiken met behulp van groeperingen en met factoren uit onafhankelijke termen.
Stap
Methode 1 van 2: Factoring door groepering
Stap 1. Groepeer de polynoom in twee delen
Door een polynoom in twee helften te groeperen, kunt u elk deel afzonderlijk breken.
Stel dat we een polynoom gebruiken: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Opgesplitst in (x3 + 3x2) en (- 6x - 18).
Stap 2. Zoek de factoren die in elke sectie hetzelfde zijn
- Van (x3 + 3x2), kunnen we zien dat dezelfde factor x. is2.
- Vanaf (- 6x - 18) kunnen we zien dat de gelijke factor -6 is.
Stap 3. Haal de gelijke factoren uit beide termen
- Factor x. eruit halen2 uit het eerste deel krijgen we x2(x + 3).
- Als we de factor -6 uit het tweede deel nemen, krijgen we -6(x + 3).
Stap 4. Als elk van de twee termen dezelfde factor heeft, kunt u de factoren combineren
Je krijgt (x + 3)(x2 - 6).
Stap 5. Vind het antwoord door naar de wortels van de vergelijking te kijken
Als je x. hebt2 aan de basis van de vergelijking, onthoud dat zowel positieve als negatieve getallen aan de vergelijking zullen voldoen.
De antwoorden zijn -3, 6 en -√6
Methode 2 van 2: Factoring met gratis voorwaarden
Stap 1. Herschik de vergelijking in de vorm aX3+bX2+cX+d.
Stel dat we een polynoom gebruiken: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Stap 2. Zoek alle factoren van "d"
De constante "d" is een getal dat geen variabelen heeft, zoals "x", ernaast.
Factoren zijn getallen die met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd om een ander getal te krijgen. In dit geval zijn de factoren van 10, wat "d" is: 1, 2, 5 en 10
Stap 3. Zoek een factor die de polynoom gelijk maakt aan nul
We moeten bepalen welke factoren de polynoom gelijk aan nul maken wanneer we factoren in elke "x" in de vergelijking vervangen.
-
Begin met de eerste factor, namelijk 1. Vervang "1" voor elke "x" in de vergelijking:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- U krijgt: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Aangezien 0 = 0 een waar statement is, weet je dat x = 1 het antwoord is.
Stap 4. Voer enkele instellingen uit
Als x = 1, kunt u de instructie herschikken om deze er iets anders uit te laten zien zonder de betekenis ervan te veranderen.
"x = 1" is hetzelfde als "x - 1 = 0". Je trekt gewoon met "1" af van elke kant van de vergelijking
Stap 5. Neem de wortelfactor van de vergelijking uit de rest van de vergelijking
"(x - 1)" is de wortel van de vergelijking. Controleer of u de rest van de vergelijking kunt weglaten. Haal de veeltermen één voor één eruit.
- Kun je (x - 1) uit x. wegfactoren?3? Nee. Maar je kunt -x. lenen2 van de tweede variabele, dan kun je deze ontbinden: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Kun je (x - 1) ontbinden in de rest van de tweede variabele? Nee. Van de derde variabele moet je een beetje lenen. Van -7x moet je 3x lenen. Dit geeft het resultaat -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Aangezien je 3x hebt genomen van -7x, wordt de derde variabele -10x en is de constante 10. Kun je er rekening mee houden? Ja! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Wat u doet, is de variabele zo instellen dat u (x - 1) uit de hele vergelijking kunt weglaten. Je herschikt de vergelijking naar iets als dit: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, maar de vergelijking is nog steeds gelijk aan x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Stap 6. Ga door met het vervangen door factoren van de onafhankelijke term
Kijk naar het getal dat je hebt ontbonden met (x - 1) in stap 5:
- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. U kunt het herschikken om het gemakkelijker te maken om nogmaals te ontbinden: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Hier hoef je alleen (x2 - 3x - 10). Het resultaat van factoring is (x + 2)(x - 5).
Stap 7. Uw antwoord is de ontbonden wortels van de vergelijking
U kunt controleren of uw antwoord correct is door elk antwoord afzonderlijk in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Dit geeft de antwoorden 1, -2 en 5.
- Plug -2 in de vergelijking: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Sluit 5 aan in de vergelijking: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Tips
- Er is geen kubuspolynoom die niet kan worden ontbonden met reële getallen, omdat elke kubus altijd een echte wortel heeft. Een kubuspolynoom zoals x3 + x + 1 die een irrationele reële wortel heeft, kan niet worden verwerkt in een polynoom met gehele of rationale coëfficiënten. Hoewel het kan worden ontbonden door de formule van de kubus, kan het niet worden gereduceerd als een geheel getal.
- Een kubuspolynoom is het product van drie polynomen tot de macht van één of het product van een polynoom tot de macht van één en een polynoom tot de macht van twee die niet kunnen worden ontbonden. Voor situaties zoals de laatste gebruik je staartdeling na het vinden van de eerste machtspolynoom om de tweede machtspolynoom te krijgen.
