In wiskunde, factoring is een manier om getallen of uitdrukkingen te vinden die bij vermenigvuldiging een bepaald getal of een gegeven vergelijking opleveren. Factoring is een nuttige vaardigheid om eenvoudige algebraproblemen te leren oplossen; het vermogen om goed te factoriseren, wordt belangrijk bij het omgaan met kwadratische vergelijkingen en andere vormen van veeltermen. Factoring kan worden gebruikt om algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen om hun oplossingen gemakkelijker te maken. Factoring kan je zelfs de mogelijkheid geven om bepaalde mogelijke antwoorden te elimineren, veel sneller dan ze handmatig op te lossen.
Stap
Methode 1 van 3: Factoringgetallen en eenvoudige algebraïsche uitdrukkingen
Stap 1. Begrijp de definitie van factoring wanneer toegepast op enkele getallen
Factoring is een eenvoudig concept, maar in de praktijk kan het een uitdaging zijn wanneer het wordt toegepast op complexe vergelijkingen. Daarom is het het gemakkelijkst om het concept van factoring te benaderen door te beginnen met eenvoudige getallen en vervolgens door te gaan met eenvoudige vergelijkingen, voordat u uiteindelijk overgaat naar complexere toepassingen. Factoren van een getal zijn getallen die bij vermenigvuldiging het getal opleveren. De factoren van 12 zijn bijvoorbeeld 1, 12, 2, 6, 3 en 4, omdat 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4 gelijk zijn aan 12.
- Een andere manier om erover na te denken is dat de factoren van een getal getallen zijn die gelijkmatig in het getal kunnen worden verdeeld.
-
Kun jij alle factoren van het getal 60 vinden? We gebruiken het getal 60 voor verschillende doeleinden (minuten in een uur, seconden in een minuut, enz.) omdat het deelbaar kan zijn door heel veel andere getallen.
De factoren van 60 zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60
Stap 2. Begrijp dat variabele expressies ook kunnen worden meegerekend
Net zoals getallen zelf kunnen worden ontbonden, kunnen variabelen met getalcoëfficiënten ook worden ontbonden. Om dit te doen, zoekt u gewoon de factoren van de variabele coëfficiënten. Weten hoe je een variabele moet ontbinden, is erg handig om algebraïsche vergelijkingen met die variabele te vereenvoudigen.
-
De variabele 12x kan bijvoorbeeld worden geschreven als het product van de factoren 12 en x. We kunnen 12x schrijven als 3(4x), 2(6x), enz., met behulp van de factoren van 12 die het beste werken voor onze doeleinden.
We kunnen zelfs meerdere keren 12x factoriseren. Met andere woorden, we hoeven niet te stoppen bij 3(4x) of 2(6x) - we kunnen 4x en 6x ontbinden om 3(2(2x) en 2(3(2x) te produceren). Natuurlijk zijn deze twee uitdrukkingen gelijkwaardig zijn
Stap 3. Pas de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe op factoralgebraïsche vergelijkingen
Met uw kennis van het ontbinden van zowel afzonderlijke getallen als variabelen met coëfficiënten, kunt u eenvoudige algebraïsche vergelijkingen vereenvoudigen door de factoren te vinden die getallen en variabelen delen in algebraïsche vergelijkingen. Om een vergelijking te vereenvoudigen, proberen we meestal de grootste gemene deler te vinden. Dit vereenvoudigingsproces is mogelijk vanwege de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging, die van toepassing is op elk getal a, b en c. a(b + c) = ab + ac.
- Laten we een voorbeeldvraag proberen. Laten we, om de algebraïsche vergelijking 12x + 6 te ontbinden, eerst proberen de grootste gemene deler van 12x en 6 te vinden. 6 is het grootste getal dat 12x en 6 gelijkmatig kan delen, dus we kunnen de vergelijking vereenvoudigen tot 6 (2x + 1).
- Dit proces is ook van toepassing op vergelijkingen met negatieve getallen en breuken. Bijvoorbeeld x/2 + 4 kan worden vereenvoudigd tot 1/2(x + 8) en -7x + -21 kan worden ontbonden tot -7(x + 3).
Methode 2 van 3: Factoring kwadratische vergelijkingen
Stap 1. Zorg ervoor dat de vergelijking in kwadratische vorm is (ax2 + bx + c = 0).
Kwadratische vergelijkingen hebben de vorm ax2 + bx + c = 0, waarbij a, b en c getalconstanten zijn en niet gelijk zijn aan 0 (merk op dat a gelijk kan zijn aan 1 of -1). Als je een vergelijking hebt met één variabele (x) met één term x tot de macht twee of meer, dan verplaats je deze termen meestal in de vergelijking met behulp van eenvoudige algebraïsche bewerkingen om 0 aan weerszijden van het gelijkteken en de bijl te krijgen2, enzovoort. aan de andere kant.
- Laten we bijvoorbeeld een algebraïsche vergelijking bedenken. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 kan worden vereenvoudigd tot x2 + 6x + 9 = 0, wat de vierkante vorm is.
- Vergelijkingen met de grotere macht van x, zoals x3, x4, enzovoort. zijn geen kwadratische vergelijkingen. Deze vergelijkingen zijn derdegraads vergelijkingen, tot de vierde macht, enzovoort, tenzij de vergelijking kan worden vereenvoudigd om deze x-termen met machten groter dan 2 te verwijderen.
Stap 2. In een kwadratische vergelijking, waarbij a = 1, factor in (x+d)(x+e), waarbij d × e = c en d + e = b
Als uw kwadratische vergelijking de vorm x. heeft2 + bx + c = 0 (met andere woorden, als de coëfficiënt van de term x2 = 1), is het mogelijk (maar niet gegarandeerd) dat een vrij eenvoudige stenomethode kan worden gebruikt om de vergelijking te ontbinden. Vind twee getallen die bij vermenigvuldiging c. geven en opgeteld om te produceren b. Nadat u naar deze twee getallen d en e hebt gezocht, plaatst u ze in de volgende uitdrukking: (x+d)(x+e). Deze twee termen, wanneer ze worden vermenigvuldigd, geven je je kwadratische vergelijking - met andere woorden, het zijn de factoren van je kwadratische vergelijking.
- Laten we bijvoorbeeld denken aan de kwadratische vergelijking x2 + 5x + 6 = 0. 3 en 2 worden vermenigvuldigd om 6 te geven en ook opgeteld om 5 te krijgen, dus we kunnen deze vergelijking vereenvoudigen tot (x + 3)(x + 2).
-
Het kleine verschil in deze eenvoudige stenomethode ligt in de verschillen in de overeenkomsten zelf:
- Als de kwadratische vergelijking de vorm x. heeft2-bx+c, je antwoord is in deze vorm: (x - _)(x - _).
- Als de vergelijking de vorm x. heeft2+bx+c, je antwoord ziet er als volgt uit: (x + _)(x + _).
- Als de vergelijking de vorm x. heeft2-bx-c, je antwoord is in de vorm (x + _)(x - _).
- Let op: de getallen op de lege plekken kunnen breuken of decimalen zijn. Bijvoorbeeld de vergelijking x2 + (21/2)x + 5 = 0 wordt verwerkt in (x + 10)(x + 1/2).
Stap 3. Factor indien mogelijk door middel van controles
Geloof het of niet, voor ongecompliceerde kwadratische vergelijkingen is een van de toegestane factoringmethoden om het probleem te onderzoeken en vervolgens de mogelijke antwoorden te overwegen totdat u het juiste antwoord vindt. Deze methode wordt ook wel factoring door middel van onderzoek genoemd. Als de vergelijking de vorm ax. heeft2+bx+c en a>1, uw factorantwoord heeft de vorm (dx +/- _)(ex +/- _), waarbij d en e constanten zijn van niet-nulgetallen die bij vermenigvuldiging a geven. Noch d noch e (of beide) kan 1 zijn, hoewel dat niet zo hoeft te zijn. Als beide 1 zijn, gebruikt u in feite de hierboven beschreven stenomethode.
Laten we een voorbeeldprobleem bedenken. 3x2 - 8x + 4 ziet er in het begin moeilijk uit. Zodra we ons echter realiseren dat 3 slechts twee factoren heeft (3 en 1), wordt deze vergelijking gemakkelijker omdat we weten dat ons antwoord de vorm moet hebben (3x +/- _)(x +/- _). In dit geval geeft het toevoegen van -2 aan beide spaties het juiste antwoord. -2 × 3x = -6x en -2 × x = -2x. -6x en -2x tellen op tot -8x. -2 × -2 = 4, dus we kunnen zien dat de termen die tussen haakjes zijn verwerkt, wanneer ze worden vermenigvuldigd, de oorspronkelijke vergelijking opleveren.
Stap 4. Los het op door het vierkant te voltooien
In sommige gevallen kunnen kwadratische vergelijkingen snel en gemakkelijk worden ontbonden met behulp van speciale algebraïsche identiteiten. Elke kwadratische vergelijking in de vorm x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Dus als in uw vergelijking uw b-waarde tweemaal de vierkantswortel van uw c-waarde is, kan uw vergelijking worden ontbonden tot (x + (root (c)))2.
Bijvoorbeeld de vergelijking x2 +6x+9 heeft deze vorm. 32 is 9 en 3 × 2 is 6. Dus we weten dat de factorvorm van deze vergelijking is (x + 3)(x + 3), of (x + 3)2.
Stap 5. Gebruik factoren om kwadratische vergelijkingen op te lossen
Ongeacht hoe je je kwadratische vergelijking hebt ontbonden, als de vergelijking eenmaal is ontbonden, kun je mogelijke antwoorden op de waarde van x vinden door elke factor gelijk aan nul te maken en ze op te lossen. Aangezien u op zoek bent naar de waarde van x die uw vergelijking gelijk aan nul maakt, is de waarde van x die elke factor gelijk aan nul maakt een mogelijk antwoord op uw kwadratische vergelijking.
Laten we teruggaan naar vergelijking x2 + 5x + 6 = 0. Deze vergelijking is verwerkt in (x + 3)(x + 2) = 0. Als een van beide factoren gelijk is aan 0, zijn alle vergelijkingen gelijk aan 0, dus onze mogelijke antwoorden voor x zijn getallen - een getal dat maakt (x + 3) en (x + 2) zijn gelijk aan 0. Deze getallen zijn respectievelijk -3 en -2.
Stap 6. Controleer uw antwoorden – sommige antwoorden kunnen misleidend zijn
Wanneer u mogelijke antwoorden voor x vindt, sluit u ze weer in uw oorspronkelijke vergelijking in om te zien of het antwoord correct is. Soms maken de antwoorden die u vindt de oorspronkelijke vergelijking niet gelijk aan nul wanneer u ze opnieuw invoert. We noemen dit antwoord afwijkend en negeren het.
-
Laten we -2 en -3 in x. zetten2 + 5x + 6 = 0. Ten eerste, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Dit antwoord is correct, dus -2 is het juiste antwoord.
-
Laten we nu -3 proberen:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Dit antwoord is ook correct, dus -3 is het juiste antwoord.
Methode 3 van 3: Andere vergelijkingen in rekening brengen
Stap 1. Als de vergelijking wordt uitgedrukt in de vorm a2-B2, factor in (a+b)(a-b).
Vergelijkingen met twee variabelen hebben andere factoren dan de basis kwadratische vergelijking. voor vergelijking a2-B2 alles waar a en b niet gelijk zijn aan 0, de factoren van de vergelijking zijn (a+b)(a-b).
Bijvoorbeeld de vergelijking 9x2 - 4 jaar2 = (3x + 2j)(3x - 2j).
Stap 2. Als de vergelijking wordt uitgedrukt in de vorm a2+2ab+b2, factor in (a+b)2.
Merk op dat, als de trinominaal van de vorm a2-2ab+b2, de vormfactoren zijn iets anders: (a-b)2.
4x vergelijking2 + 8xy + 4y2 kan worden herschreven als 4x2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y2. Nu kunnen we zien dat de vorm correct is, dus we kunnen er zeker van zijn dat de factoren van onze vergelijking (2x + 2y) zijn2
Stap 3. Als de vergelijking wordt uitgedrukt in de vorm a3-B3, factor in (a-b)(a2+ab+b2).
Ten slotte werd al vermeld dat derdegraadsvergelijkingen en zelfs hogere machten kunnen worden ontbonden, hoewel het factoringproces al snel erg ingewikkeld wordt.
Bijvoorbeeld 8x3 - 27 jaar3 meegerekend (2x - 3j)(4x2 + ((2x)(3j)) + 9j2)
Tips
- een2-B2 kan worden meegewogen, een2+b2 kan niet worden meegewogen.
- Onthoud hoe je een constante factoriseert. Dit kan helpen.
- Wees voorzichtig met breuken in het factoringproces en werk correct en zorgvuldig met breuken.
- Als je een trinominaal hebt van de vorm x2+bx+ (b/2)2, de vormfactor is (x+(b/2))2. (Je kunt deze situatie tegenkomen bij het invullen van het vierkant.)
- Onthoud dat a0=0 (de eigenschap van het product van nul).
