Een polynoom bevat een variabele (x) met een macht, een graad, en verschillende termen en/of constanten. Een polynoom ontbinden betekent de vergelijking opsplitsen in eenvoudigere vergelijkingen die vermenigvuldigd kunnen worden. Deze vaardigheid is in Algebra 1 en hoger, en kan moeilijk te begrijpen zijn als je wiskundige vaardigheden niet van dit niveau zijn.
Stap
Begin
Stap 1. Stel uw vergelijking in
Het standaardformaat voor een kwadratische vergelijking is:
bijl2 + bx + c = 0
Begin met het ordenen van de termen in uw vergelijking van hoogste naar laagste vermogen, net als in dit standaardformaat. Bijvoorbeeld:
6 + 6x2 + 13x = 0
We zullen deze vergelijking opnieuw ordenen zodat het gemakkelijker is om mee te werken door simpelweg de termen te verplaatsen:
6x2 + 13x + 6 = 0
Stap 2. Zoek de vormfactor op een van de volgende manieren
Factoring van de polynoom resulteert in twee eenvoudigere vergelijkingen die kunnen worden vermenigvuldigd om de oorspronkelijke polynoom te produceren:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In dit voorbeeld zijn (2x + 3) en (3x + 2) de factoren van de oorspronkelijke vergelijking, 6x2 +13x+6.
Stap 3. Controleer je werk
Vermenigvuldig de factoren die je hebt. Combineer dan gelijkaardige termen en je bent klaar. Beginnen met:
(2x + 3) (3x + 2)
Laten we proberen de termen te vermenigvuldigen met PLDT (first – outside – inside – last), wat resulteert in:
6x2 + 4x + 9x + 6
Vanaf hier kunnen we 4x en 9x optellen omdat het dezelfde termen zijn. We weten dat onze factoren correct zijn omdat we onze oorspronkelijke vergelijking krijgen:
6x2 + 13x + 6
Methode 1 van 6: vallen en opstaan
Als je een vrij eenvoudige polynoom hebt, kun je de factoren misschien zelf vinden door ernaar te kijken. Na oefening kunnen veel wiskundigen bijvoorbeeld ontdekken dat de vergelijking 4x2 + 4x + 1 heeft een factor van (2x + 1) en (2x + 1) gewoon door er vaak naar te kijken. (Dit zal natuurlijk niet gemakkelijk zijn voor meer gecompliceerde polynomen). Laten we voor dit voorbeeld een minder vaak gebruikte vergelijking gebruiken:
3x2 + 2x - 8
Stap 1. Maak een lijst van de factoren van term a en term c
Het ax-vergelijkingsformaat gebruiken2 + bx + c = 0, identificeer de termen a en c en noteer de factoren die beide termen hebben. Voor 3x2 + 2x - 8, wat betekent:
a = 3 en heeft een reeks factoren: 1 * 3
c = -8 en heeft vier sets factoren: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 en -1 * 8.
Stap 2. Noteer twee sets haakjes met spaties
Je vult de lege plekken in die je hebt gemaakt met constanten voor elke vergelijking:
(x)(x)
Stap 3. Vul de lege plekken voor x in met de mogelijke paren factoren voor de waarde van a
Voor de term a in ons voorbeeld, 3x2, is er maar één mogelijkheid voor ons voorbeeld:
(3x)(1x)
Stap 4. Vul de twee lege plekken na x in met paren factoren voor de constante
Stel dat we 8 en 1 kiezen. Schrijf daarin:
(3x
Stap 8.)(
Stap 1
Stap 5. Bepaal het teken (plus of min) tussen de variabele x en het getal
Afhankelijk van de tekens in de oorspronkelijke vergelijking, kan het mogelijk zijn om naar tekens voor constanten te zoeken. Stel dat we de twee constanten h en k noemen voor onze twee factoren:
Als bijl2 + bx + c dan (x + h)(x + k)
Als bijl2 - bx - c of ax2 + bx - c dan (x - h)(x + k)
Als bijl2 - bx + c dan (x - h)(x - k)
Voor ons voorbeeld, 3x2 + 2x - 8, de tekens zijn:(x - h)(x + k), wat ons twee factoren geeft:
(3x + 8) en (x - 1)
Stap 6. Test uw keuzes met behulp van first-out-in-last vermenigvuldiging (PLDT)
De eerste snelle test is om te kijken of de middenterm minimaal de juiste waarde heeft. Zo niet, dan heb je mogelijk de verkeerde c-factoren gekozen. Laten we ons antwoord testen:
(3x + 8)(x - 1)
Door vermenigvuldiging krijgen we:
3x2 - 3x + 8x - 8
Door deze vergelijking te vereenvoudigen door de soortgelijke termen (-3x) en (8x) toe te voegen, krijgen we:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nu weten we dat we de verkeerde factoren moeten hebben gebruikt:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Stap 7. Wijzig indien nodig uw selectie
Laten we in ons voorbeeld 2 en 4 proberen in plaats van 1 en 8:
(3x + 2)(x - 4)
Nu is onze c-term -8, maar ons buiten-/binnenproduct (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, wat samen niet de juiste b +2x-term zal opleveren.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Stap 8. Keer de volgorde om indien nodig
Laten we proberen 2 en 4 om te wisselen:
(3x + 4)(x - 2)
Nu is onze c-term (4 * 2 = 8) correct, maar het buitenste/inwendige product is -6x en 4x. Als we ze combineren:
-6x + 4x = 2x
2x -2x We zijn vrij dicht bij 2x die we zoeken, maar het bord is verkeerd.
Stap 9. Controleer uw tags indien nodig nogmaals
We gebruiken dezelfde volgorde, maar verwisselen de vergelijkingen met het minteken:
(3x - 4)(x + 2)
Nu is de term c geen probleem, en het huidige buiten-/binnenproduct is (6x) en (-4x). Omdat:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nu kunnen we positieve 2x van het oorspronkelijke probleem gebruiken. Dit moeten de juiste factoren zijn.
Methode 2 van 6: Ontleding
Deze methode zal alle mogelijke factoren van de termen a en c identificeren en gebruiken om de juiste factoren te vinden. Als de getallen te groot zijn of gissen tijdrovend lijkt, gebruik dan deze methode. Laten we een voorbeeld gebruiken:
6x2 + 13x + 6
Stap 1. Vermenigvuldig term a met term c
In dit voorbeeld is a 6 en is c ook 6.
6 * 6 = 36
Stap 2. Verkrijg de term b door factoring en testen
We zoeken naar twee getallen die factoren zijn van het product a * c dat we hebben geïdentificeerd en ook optellen tot de term b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Stap 3. Vervang de twee getallen die je in je vergelijking krijgt als resultaat van het optellen van term b
Laten we k en h gebruiken om de twee getallen die we hebben, 4 en 9 weer te geven:
bijl2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Stap 4. Factor de polynoom door te groeperen
Rangschik de vergelijkingen zo dat u de grootste gemene deler van zowel de eerste als de tweede term kunt nemen. De groep factoren moet hetzelfde zijn. Voeg de grootste gemene deler toe en plaats deze tussen haakjes naast de factorgroep; het resultaat is uw twee factoren:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Methode 3 van 6: Triple Play
Net als bij de ontledingsmethode, onderzoekt de triple play-methode de mogelijke factoren van het vermenigvuldigen van de termen a en c en het gebruik van de waarde van b. Probeer deze voorbeeldvergelijking te gebruiken:
8x2 + 10x + 2
Stap 1. Vermenigvuldig term a met term c
Net als de ontledingsmethode zal dit ons helpen kandidaten voor term b te identificeren. In dit voorbeeld is a 8 en c is 2.
8 * 2 = 16
Stap 2. Zoek twee getallen die, vermenigvuldigd met getallen, dit getal opleveren met een totale som gelijk aan de term b
Deze stap is hetzelfde als parseren - we testen en verwijderen kandidaten voor de constante. Het product van de termen a en c is 16, en de term c is 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Stap 3. Neem deze twee nummers en test ze door ze aan te sluiten op de triple play-formule
Neem onze twee getallen uit de vorige stap - laten we ze h en k noemen - en vul ze in de vergelijking:
((ax + h)(ax + k))/ a
We zullen krijgen:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Stap 4. Kijk of een van de twee termen in de teller deelbaar is door een
In dit voorbeeld hebben we gezien of (8x + 8) of (8x + 2) deelbaar is door 8. (8x + 8) deelbaar is door 8, dus we delen deze term door a en laten de andere factoren met rust.
(8x + 8) = 8(x + 1)
De term tussen haakjes hier is wat er overblijft nadat we delen door de term a.
Stap 5. Neem de grootste gemene deler (GCF) van een of beide termen, indien aanwezig
In dit voorbeeld heeft de tweede term een GCF van 2, omdat 8x + 2 = 2(4x + 1). Combineer dit resultaat met de term die je uit de vorige stap hebt gekregen. Dit zijn de factoren in uw vergelijking.
2(x + 1)(4x + 1)
Methode 4 van 6: Verschil van vierkantswortels
Sommige coëfficiënten in veeltermen kunnen 'vierkanten' zijn, of het product van twee getallen. Door deze vierkanten te identificeren, kunt u sneller meerdere polynomen ontbinden. Probeer deze vergelijking:
27x2 - 12 = 0
Stap 1. Haal indien mogelijk de grootste gemene deler weg
In dit geval kunnen we zien dat 27 en 12 deelbaar zijn door 3, dus we krijgen:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4)
Stap 2. Bepaal of de coëfficiënten van uw vergelijking kwadraten zijn
Om deze methode te gebruiken, moet u de vierkantswortel van beide termen kunnen nemen. (Merk op dat we het minteken negeren - omdat deze getallen vierkanten zijn, kunnen ze het product zijn van twee positieve of negatieve getallen)
9x2 = 3x * 3x en 4 = 2 * 2
Stap 3. Gebruik de vierkantswortel die je hebt en schrijf de factoren op
We nemen de waarden van a en c uit onze stap hierboven - a = 9 en c = 4, en vinden dan de vierkantswortel - a = 3 en c = 2. Het resultaat is de coëfficiënt van de factorvergelijking:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Methode 5 van 6: Kwadratische formule
Als al het andere faalt en de vergelijking niet in zijn geheel kan worden ontbonden, gebruik dan de kwadratische formule. Probeer dit voorbeeld:
x2 + 4x + 1 = 0
Stap 1. Voer de vereiste waarden in de kwadratische formule in:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
We krijgen de vergelijking:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Stap 2. Zoek de waarde van x
Je krijgt twee waarden. Zoals hierboven weergegeven, krijgen we twee antwoorden:
x = -2 + (3) of x = -2 - (3)
Stap 3. Gebruik je x-waarde om de factoren te vinden
Steek de x-waarden die je hebt in de twee polynoomvergelijkingen als constanten. Het resultaat zijn uw factoren. Als we onze antwoorden h en k noemen, schrijven we de twee factoren als volgt op:
(x - h)(x - k)
In dit voorbeeld is ons definitieve antwoord:
(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))
Methode 6 van 6: De rekenmachine gebruiken
Als u een rekenmachine mag gebruiken, maakt een grafische rekenmachine het factoringproces een stuk eenvoudiger, vooral voor gestandaardiseerde tests. Deze instructies zijn voor de TI grafische rekenmachine. We gebruiken een voorbeeldvergelijking:
y = x2 x 2
Stap 1. Voer uw vergelijking in de rekenmachine in
U gebruikt de factoring van de vergelijking, die is geschreven [Y =] op het scherm.
Stap 2. Maak een grafiek van uw vergelijking met uw rekenmachine
Wanneer u uw vergelijking hebt ingevoerd, drukt u op [GRAPH] - u ziet een vloeiende curve die uw vergelijking vertegenwoordigt (en de vorm is een curve omdat we veeltermen gebruiken).
Stap 3. Zoek de locatie waar de curve de x-as snijdt
Omdat polynoomvergelijkingen meestal worden geschreven als ax2 + bx + c = 0, dit snijpunt is de tweede waarde van x die ervoor zorgt dat de vergelijking nul is:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Als u niet kunt zien waar de grafiek de x-as snijdt door ernaar te kijken, drukt u op [2nd] en vervolgens op [TRACE]. Druk op [2] of selecteer nul. Verplaats de cursor naar links van de kruising en druk op [ENTER]. Verplaats de cursor naar rechts van de kruising en druk op [ENTER]. Verplaats de cursor zo dicht mogelijk bij de kruising en druk op [ENTER]. De rekenmachine vindt de waarde van x. Doe dit ook voor de andere kruispunten
Stap 4. Steek de x-waarde die is verkregen uit de vorige stap in de vergelijking met twee faculteiten
Als we onze beide x-waarden h en k zouden noemen, zouden de vergelijkingen die we zouden gebruiken zijn:
(x - h)(x - k) = 0
Onze twee factoren zijn dus:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Tips
- Als je een TI-84 rekenmachine (grafiek) hebt, is er een programma genaamd SOLVER dat je kwadratische vergelijkingen oplost. Dit programma lost veeltermen van elke graad op.
- Als een term niet is geschreven, is de coëfficiënt 0. Het is handig om de vergelijking te herschrijven als dit het geval is, bijvoorbeeld: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Als je je polynoom hebt ontbonden met behulp van een kwadratische formule en het antwoord in termen van wortels hebt gekregen, wil je misschien de waarde van x naar een breuk converteren om te controleren.
- Als een term geen geschreven coëfficiënt heeft, is de coëfficiënt 1, bijvoorbeeld: x2 = 1x2.
- Na voldoende oefening zul je uiteindelijk in staat zijn om polynomen in je hoofd te factoriseren. Zorg ervoor dat u altijd de how-to opschrijft totdat u het kunt doen.
