In een "stelsel van vergelijkingen" wordt u gevraagd om twee of meer vergelijkingen tegelijkertijd op te lossen. Als de twee vergelijkingen twee verschillende variabelen hebben, bijvoorbeeld x en y, kan de oplossing in eerste instantie moeilijk lijken. Gelukkig, als je eenmaal weet wat je moet doen, kun je eenvoudig je algebraïsche vaardigheden (en de wetenschap van het berekenen van breuken) gebruiken om het probleem op te lossen. Leer ook hoe u deze twee vergelijkingen kunt tekenen als u een visuele leerling bent of als de leraar dit vereist. Tekeningen helpen u het onderwerp te identificeren of de resultaten van uw werk te controleren. Deze methode is echter langzamer dan de andere methoden en kan niet voor alle vergelijkingsstelsels worden gebruikt.
Stap
Methode 1 van 3: De vervangingsmethode gebruiken
Stap 1. Verplaats de variabelen naar de andere kant van de vergelijking
De substitutiemethode begint met "het vinden van de waarde van x" (of een andere variabele) in een van de vergelijkingen. Stel bijvoorbeeld dat de vergelijking van het probleem is 4x + 2j = 8 en 5x + 3j = 9. Begin met het werken aan de eerste vergelijking. Herschik de vergelijking door 2y aan beide kanten af te trekken. Zo krijg je 4x = 8 - 2j.
Deze methode gebruikt vaak breuken aan het eind. Als je het tellen van breuken niet leuk vindt, probeer dan de eliminatiemethode hieronder
Stap 2. Verdeel beide kanten van de vergelijking om "de waarde van x te vinden"
Zodra de term x (of welke variabele je ook gebruikt) alleen aan één kant van de vergelijking staat, deel je beide kanten van de vergelijking door de coëfficiënten, zodat alleen de variabele overblijft. Als voorbeeld:
- 4x = 8 - 2j
- (4x)/4 = (8/4) - (2j/4)
- x = 2 - y
Stap 3. Vul de x-waarde van de eerste vergelijking in de tweede vergelijking in
Zorg ervoor dat je het invoegt in de tweede vergelijking, in plaats van degene waaraan je zojuist hebt gewerkt. Vervang (vervang) de variabele x in de tweede vergelijking. De tweede vergelijking heeft nu dus maar één variabele. Als voorbeeld:
- Is bekend x = 2 - y.
- Je tweede vergelijking is 5x + 3j = 9.
- Na het verwisselen van de x-variabele in de tweede vergelijking met de x-waarde van de eerste vergelijking, krijgen we "2 - y": 5(2 - j) + 3j = 9.
Stap 4. Los de overige variabelen op
Nu heeft je vergelijking maar één variabele. Bereken de vergelijking met gewone algebraïsche bewerkingen om de waarde van de variabele te vinden. Als de twee variabelen elkaar opheffen, ga dan meteen door naar de laatste stap. Anders krijg je een waarde voor een van de variabelen:
- 5(2 - j) + 3j = 9
- 10 – (5/2)j + 3j = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Als u deze stap niet begrijpt, leer dan hoe u breuken kunt optellen.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Stap 5. Gebruik het verkregen antwoord om de werkelijke waarde van x in de eerste vergelijking te vinden
Stop nog niet, want je berekeningen zijn nog niet klaar. U moet het verkregen antwoord in de eerste vergelijking invoegen om de waarde van de resterende variabelen te vinden:
- Is bekend y = -2
- Een van de vergelijkingen in de eerste vergelijking is 4x + 2j = 8. (U kunt beide gebruiken.)
- Vervang de y-variabele door -2: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Stap 6. Weet wat u moet doen als de twee variabelen elkaar opheffen
Wanneer je binnenkomt x=3j+2 of een soortgelijk antwoord op de tweede vergelijking, wat betekent dat je een vergelijking probeert te krijgen die maar één variabele heeft. Soms krijg je gewoon de vergelijking zonder variabel. Controleer je werk nog eens goed en zorg ervoor dat je vergelijking één in vergelijking twee hebt gezet (opnieuw geordend), in plaats van terug te gaan naar de eerste vergelijking. Als je zeker weet dat je niets verkeerd hebt gedaan, schrijf dan een van de volgende resultaten op:
- Als de vergelijking geen variabelen heeft en niet waar is (bijvoorbeeld 3 = 5), is dit probleem heb geen antwoord. (Als dit in een grafiek wordt weergegeven, zijn deze twee vergelijkingen parallel en ontmoeten ze elkaar nooit.)
- Als de vergelijking geen variabelen heeft en Juist, (bijv. 3 = 3), wat betekent dat de vraag heeft onbeperkte antwoorden. Vergelijking één is precies hetzelfde als vergelijking twee. (In een grafiek zijn deze twee vergelijkingen dezelfde lijn.)
Methode 2 van 3: De eliminatiemethode gebruiken
Stap 1. Zoek de elkaar uitsluitende variabelen
Soms is de vergelijking in het probleem al: elkaar opzeggen wanneer opgeteld. Als u bijvoorbeeld de vergelijking 3x + 2j = 11 en 5x - 2y = 13, zullen de termen "+2y" en "-2y" elkaar opheffen en de variabele "y" uit de vergelijking verwijderen. Kijk naar de vergelijking in de opgave en kijk of er variabelen zijn die elkaar opheffen, zoals in het voorbeeld. Zo niet, ga dan verder met de volgende stap.
Stap 2. Vermenigvuldig de vergelijking met één zodat één variabele wordt verwijderd
(Sla deze stap over als de variabelen elkaar al opheffen.) Als de vergelijking geen variabelen heeft die zichzelf opheffen, verander dan een van de vergelijkingen zodat ze elkaar kunnen opheffen. Bekijk de volgende voorbeelden zodat u ze gemakkelijk kunt begrijpen:
- De vergelijkingen in het probleem zijn 3x - y = 3 en - x + 2y = 4.
- Laten we de eerste vergelijking veranderen zodat de variabele ja elkaar opheffen. (Je mag de variabele gebruiken x. Het uiteindelijke antwoord zal hetzelfde zijn.)
- Variabele - ja in de eerste vergelijking moet worden geëlimineerd door + 2 jaar in de tweede vergelijking. Hoe, vermenigvuldigen - ja met 2.
- Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 2, als volgt: 2(3x - y)=2(3), dus 6x - 2y = 6. Nu, stam - 2 jaar zullen elkaar opheffen met +2j in de tweede vergelijking.
Stap 3. Combineer de twee vergelijkingen
De truc is om de rechterkant van de eerste vergelijking toe te voegen aan de rechterkant van de tweede vergelijking en de linkerkant van de eerste vergelijking toe te voegen aan de linkerkant van de tweede vergelijking. Als het goed wordt gedaan, heffen een van de variabelen elkaar op. Laten we proberen de berekening uit het vorige voorbeeld voort te zetten:
- Je twee vergelijkingen zijn 6x - 2y = 6 en - x + 2y = 4.
- Tel de linkerkant van de twee vergelijkingen bij elkaar op: 6x - 2j - x + 2j = ?
- Tel de rechterkant van de twee vergelijkingen bij elkaar op: 6x - 2j - x + 2j = 6 + 4.
Stap 4. Haal de laatste variabelewaarde op
Vereenvoudig uw samengestelde vergelijking en werk met standaardalgebra om de waarde van de laatste variabele te krijgen. Als de vergelijking na vereenvoudiging geen variabelen heeft, gaat u verder met de laatste stap in deze sectie.
Anders krijgt u een waarde voor een van de variabelen. Als voorbeeld:
- Is bekend 6x - 2j - x + 2j = 6 + 4.
- Groepsvariabelen x en ja samen: 6x - x - 2j + 2j = 6 + 4.
- Vereenvoudig de vergelijking: 5x = 10
- Zoek de x-waarde: (5x)/5 = 10/5, verkrijgen x = 2.
Stap 5. Zoek de waarde van een andere variabele
Je hebt de waarde van de ene variabele gevonden, maar hoe zit het met de andere? Vul je antwoord in een van de vergelijkingen in om de waarde van de resterende variabele te vinden. Als voorbeeld:
- Is bekend x = 2, en een van de vergelijkingen in het probleem is 3x - y = 3.
- Vervang de variabele x door 2: 3(2) - y = 3.
- Zoek de waarde van y in de vergelijking: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, dus 6 = 3 + y
- 3 = ja
Stap 6. Weet wat u moet doen als de twee variabelen elkaar opheffen
Soms resulteert het combineren van twee vergelijkingen in een vergelijking die niet klopt, of die u niet helpt het probleem op te lossen. Bekijk je werk, en als je zeker weet dat je niets verkeerd hebt gedaan, schrijf dan een van de volgende twee antwoorden op:
- Als de gecombineerde vergelijking geen variabelen heeft en niet waar is (bijvoorbeeld 2 = 7), is dit probleem heb geen antwoord. Dit antwoord geldt voor beide vergelijkingen. (Als dit in een grafiek wordt weergegeven, zijn deze twee vergelijkingen parallel en ontmoeten ze elkaar nooit.)
- Als de gecombineerde vergelijking geen variabelen heeft en Juist, (bijv. 0 = 0), wat betekent dat de vraag heeft onbeperkte antwoorden. Deze twee vergelijkingen zijn identiek aan elkaar. (In een grafiek zijn deze twee vergelijkingen dezelfde lijn.)
Methode 3 van 3: Teken een grafiek met vergelijkingen
Stap 1. Voer deze methode alleen uit als u daarom wordt gevraagd
Tenzij u een computer of een grafische rekenmachine gebruikt, kan deze methode alleen bij benadering antwoorden geven. Je leraar of leerboek kan je vertellen om deze methode te gebruiken om de gewoonte te krijgen om vergelijkingen als lijnen te tekenen. Deze methode kan ook worden gebruikt om het antwoord op een van de bovenstaande methoden te controleren.
Het belangrijkste idee is dat je de twee vergelijkingen moet beschrijven en hun snijpunt moet vinden. De waarde van x en y op dit snijpunt is het antwoord op het probleem
Stap 2. Zoek de y-waarden van beide vergelijkingen
Combineer de twee vergelijkingen niet en verander elke vergelijking zodat het formaat "y = _x + _" is. Als voorbeeld:
- Je eerste vergelijking is 2x + y = 5. Veranderen naar y = -2x + 5.
- Je eerste vergelijking is - 3x + 6y = 0. Veranderen naar 6j = 3x + 0, en vereenvoudigen tot y = x + 0.
- Als je twee vergelijkingen precies hetzelfde zijn, is de hele lijn het "kruispunt" van de twee vergelijkingen. Schrijven onbeperkte antwoorden als antwoord.
Stap 3. Teken de coördinaatassen
Teken een verticale "y-as" lijn en een horizontale "x-as" lijn op het millimeterpapier. Begin bij het punt waar de twee assen elkaar kruisen (0, 0), noteer de nummerlabels 1, 2, 3, 4, enzovoort, opeenvolgend naar boven wijzend op de y-as en naar rechts wijzend op de x-as. Noteer daarna de nummerlabels -1, -2, enzovoort, achtereenvolgens naar beneden wijzend op de y-as en naar links wijzend op de x-as.
- Als je geen ruitjespapier hebt, gebruik dan een liniaal om ervoor te zorgen dat de afstand tussen elk cijfer precies hetzelfde is.
- Als u grote getallen of decimalen gebruikt, raden we u aan uw grafiek te schalen (bijvoorbeeld 10, 20, 30 of 0, 1, 0, 2, 0, 3 in plaats van 1, 2, 3).
Stap 4. Teken het y-snijpunt voor elke vergelijking
Als de vergelijking de vorm heeft y = _x + _, kunt u beginnen met het tekenen van een grafiek door het punt te maken waar de vergelijkingslijn de y-as snijdt. De waarde van y is altijd gelijk aan het laatste getal in de vergelijking.
-
Voortzetting van het vorige voorbeeld, de eerste regel (y = -2x + 5) snijdt de y-as op
Stap 5.. tweede lijn (y = x + 0) snijdt de y-as op 0. (Deze punten worden geschreven als (0, 5) en (0, 0) in de grafiek.)
- Teken indien mogelijk de eerste en tweede lijn met verschillende gekleurde pennen of potloden.
Stap 5. Gebruik de helling om de lijn voort te zetten
In vergelijkingsformaat y = _x + _, geeft het getal voor de x het “hellingsniveau” van de lijn aan. Elke keer dat x met één wordt verhoogd, neemt de waarde van y toe met het aantal hellingsniveaus. Gebruik deze informatie om de punten voor elke lijn in de grafiek te vinden wanneer x = 1. (U kunt ook x = 1 in elke vergelijking invoeren en de waarde van y vinden.)
- Voortzetting van het vorige voorbeeld, de regel y = -2x + 5 heeft een helling van - 2. Op punt x = 1, beweegt de lijn omlaag met 2 vanaf het punt x = 0. Trek een lijn die (0, 5) verbindt met (1, 3).
- Lijn y = x + 0 heeft een helling van ½. Bij x = 1 beweegt de lijn rijden vanaf het punt x=0. Trek een lijn die (0, 0) verbindt met (1,).
- Als twee lijnen dezelfde helling hebben, de twee zullen elkaar nooit kruisen. Dit systeem van vergelijkingen heeft dus geen antwoord. Schrijven geen antwoord als antwoord.
Stap 6. Ga door met het verbinden van de lijnen totdat de twee lijnen elkaar kruisen
Stop met werken en bekijk je grafiek. als de twee lijnen elkaar hebben gekruist, gaat u verder met de volgende stap. Zo niet, neem dan een beslissing op basis van de positie van uw twee lijnen:
- Als de twee lijnen elkaar naderen, ga dan verder met het verbinden van de stippen van je strepen.
- Als de twee lijnen van elkaar af bewegen, ga dan terug en verbind de punten in tegengestelde richtingen, beginnend bij x = 1.
- Als de twee lijnen erg ver uit elkaar liggen, probeer dan over te springen en de punten verder weg te verbinden, bijvoorbeeld x = 10.
Stap 7. Zoek het antwoord op het snijpunt
Nadat de twee lijnen elkaar kruisen, is de waarde van x en y op dat punt het antwoord op uw probleem. Als je geluk hebt, is het antwoord een geheel getal. In ons voorbeeld snijden de twee lijnen elkaar bijvoorbeeld in het punt (2, 1) dus het antwoord is x = 2 en y = 1. In sommige stelsels van vergelijkingen ligt het snijpunt van de lijn tussen twee gehele getallen, en als de grafiek niet erg nauwkeurig is, is het moeilijk om aan te geven waar de x- en y-waarden zich op het snijpunt bevinden. Indien toegestaan, kunt u "x is tussen 1 en 2" als antwoord schrijven, of de vervangings- of eliminatiemethode gebruiken om het antwoord te vinden.
Tips
- U kunt uw werk controleren door de antwoorden in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen. Als de vergelijking waar blijkt te zijn (bijv. 3 = 3), betekent dit dat uw antwoord correct is.
- Wanneer u de eliminatiemethode gebruikt, moet u soms de vergelijking met een negatief getal vermenigvuldigen, zodat de variabelen elkaar kunnen opheffen.
