Wanneer u voor het eerst de derdegraadsvergelijking vindt (die van de vorm ax 3 + bx 2 + cx + d = 0), misschien denkt u dat het probleem moeilijk op te lossen zal zijn. Maar weet dat het oplossen van derdegraadsvergelijkingen eigenlijk al eeuwen bestaat! Deze oplossing, ontdekt door de Italiaanse wiskundigen Niccolò Tartaglia en Gerolamo Cardano in de jaren 1500, is een van de eerste formules die bekend is in het oude Griekenland en Rome. Het oplossen van derdegraadsvergelijkingen is misschien een beetje moeilijk, maar met de juiste aanpak (en voldoende kennis) kunnen zelfs de moeilijkste derdegraadsvergelijkingen worden opgelost.
Stap
Methode 1 van 3: Oplossen met behulp van kwadratische vergelijkingen
Stap 1. Controleer of je derdegraadsvergelijking een constante heeft
Zoals hierboven vermeld, is de vorm van de derdegraadsvergelijking ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, en de waarde van d kan 0 zijn zonder de vorm van deze derdegraadsvergelijking te beïnvloeden; dit betekent in feite dat de derdegraadsvergelijking niet altijd de waarde van bx. hoeft te bevatten 2, cx of d om een derdegraadsvergelijking te zijn. Om te beginnen met deze vrij eenvoudige manier om derdegraadsvergelijkingen op te lossen, moet u controleren of uw derdegraadsvergelijking een constante heeft (of een waarde van d). Als je vergelijking geen constante of waarde heeft voor d, dan kun je een kwadratische vergelijking gebruiken om na een paar stappen het antwoord op de derdegraadsvergelijking te vinden.
Aan de andere kant, als je vergelijking een constante waarde heeft, heb je een andere oplossing nodig. Zie de onderstaande stappen voor andere benaderingen
Stap 2. Factor de x-waarde uit de derdegraadsvergelijking
Omdat je vergelijking geen constante waarde heeft, hebben alle componenten erin de variabele x. Dit betekent dat deze waarde van x uit de vergelijking kan worden weggelaten om het te vereenvoudigen. Voer deze stap uit en herschrijf je derdegraadsvergelijking in de vorm x (ax 2 + bx + c).
Laten we bijvoorbeeld zeggen dat de oorspronkelijke derdegraadsvergelijking hier 3 x. is 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Door één variabele x uit deze vergelijking te ontbinden, krijgen we de vergelijking x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Stap 3. Gebruik kwadratische vergelijkingen om de vergelijkingen tussen haakjes op te lossen
Het is je misschien opgevallen dat sommige van je nieuwe vergelijkingen, die tussen haakjes staan, de vorm hebben van een kwadratische vergelijking (ax 2 + bx + c). Dit betekent dat we de waarde kunnen vinden die nodig is om deze vergelijking gelijk te maken aan nul door a, b en c in te vullen in de kwadratische vergelijkingsformule ({- b +/-√ (b 2- 4 ac)}/2 a). Voer deze berekeningen uit om twee antwoorden op uw derdegraadsvergelijking te vinden.
-
Steek in ons voorbeeld de waarden van a, b en c (respectievelijk 3, -2 en 14) als volgt in de kwadratische vergelijking:
-
- {- b +/-√ (b 2- 4 ac)}/2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
Antwoord 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12.8 ik }/6
-
-
Antwoord 2:
-
- {2 - 12.8 ik }/6
-
Stap 4. Gebruik nullen en uw antwoord op uw kwadratische vergelijking als uw antwoord op uw derdegraadsvergelijking
Kwadratische vergelijkingen hebben twee antwoorden, terwijl derdegraadsvergelijkingen drie antwoorden hebben. Je weet al twee van de drie antwoorden; die u krijgt van het "kwadraat" deel van de vergelijking tussen haakjes. Als je derdegraadsvergelijking op deze manier kan worden opgelost door "factorisatie", is je derde antwoord bijna altijd: 0. Veilig! Je hebt zojuist een derdegraadsvergelijking opgelost.
De reden dat deze methode werkt, is het fundamentele feit dat "elk getal vermenigvuldigd met nul gelijk is aan nul". Wanneer u uw vergelijking in de vorm x (ax 2 + bx + c) = 0, je verdeelt het eigenlijk gewoon in twee "delen"; het ene deel is de x-variabele aan de linkerkant en het andere deel is de kwadratische vergelijking tussen haakjes. Als een van deze twee delen nul is, is de hele vergelijking ook nul. Dus de twee antwoorden op de kwadratische vergelijking tussen haakjes, die het nul zouden maken, zijn de antwoorden op de derdegraadsvergelijking, evenals 0 zelf - waardoor het deel aan de linkerkant ook nul zou zijn.
Methode 2 van 3: Gehele antwoorden vinden met behulp van een factorenlijst
Stap 1. Zorg ervoor dat uw derdegraadsvergelijking een constante waarde heeft
Hoewel de hierboven beschreven methoden vrij eenvoudig te gebruiken zijn, omdat je geen nieuwe rekentechniek hoeft te leren om ze te gebruiken, zullen ze je niet altijd helpen bij het oplossen van derdegraadsvergelijkingen. Als uw derdegraadsvergelijking de vorm ax. heeft 3 + bx 2 + cx + d = 0, waarbij de waarde van d niet gelijk is aan nul, werkt de bovenstaande "factorisatie"-methode niet, dus je moet een van de methoden in deze sectie gebruiken om dit op te lossen.
Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we de vergelijking 2 x. hebben 3 + 9 x 2 + 13x = -6. In dit geval, om nul aan de rechterkant van de vergelijking te krijgen, moeten we 6 bij beide zijden optellen. Daarna krijgen we een nieuwe vergelijking 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, met een waarde van d = 6, dus we kunnen de "factorisatie"-methode niet gebruiken zoals in de vorige methode.
Stap 2. Zoek de factoren van a en d
Om je derdegraadsvergelijking op te lossen, begin je met het vinden van de factor van a (de coëfficiënt van x 3) en d (de constante waarde aan het einde van de vergelijking). Onthoud dat factoren getallen zijn die met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd om een bepaald getal te produceren. Omdat je bijvoorbeeld 6 kunt krijgen door 6 × 1 en 2 × 3 te vermenigvuldigen, zijn 1, 2, 3 en 6 factoren van 6.
-
In het voorbeeldprobleem dat we gebruiken, a = 2 en d = 6. De factor 2 is 1 en 2. Terwijl de factor 6 is 1, 2, 3 en 6.
Stap 3. Deel de factor a door de factor d
Maak vervolgens een lijst van de waarden die u krijgt door elke factor van a te delen door elke factor van d. Deze berekening resulteert meestal in veel fractionele waarden en meerdere gehele getallen. De gehele waarde om uw derdegraadsvergelijking op te lossen, is een van de gehele getallen die uit de berekening zijn verkregen.
Deel in onze vergelijking de factorwaarde van a (1, 2) door de factor d (1, 2, 3, 6) en krijg de volgende resultaten: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, en 2/3. Voeg vervolgens negatieve waarden toe aan de lijst en we krijgen: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 en -2/3. Het antwoord op de derdegraadsvergelijking - wat een geheel getal is, staat op de lijst.
Stap 4. Gebruik synthetische deling om je antwoorden handmatig te controleren
Als je eenmaal een lijst met waarden hebt zoals die hierboven, kun je de gehele getallen opzoeken die de antwoorden zijn op je derdegraadsvergelijking door elk geheel getal handmatig in te voeren en te bepalen welke waarde nul retourneert. Als u hier echter geen tijd aan wilt besteden, is er een manier om het sneller te doen, namelijk met een berekening die synthetische deling wordt genoemd. Kortom, u zou uw gehele getal delen door de oorspronkelijke coëfficiënten van a, b, c en d in uw derdegraadsvergelijking. Als de rest nul is, dan is die waarde een van de antwoorden op je derdegraadsvergelijking.
-
Synthetische deling is een complex onderwerp - zie de link hieronder voor meer informatie. Hier is een voorbeeld van hoe u een van de antwoorden op uw derdegraadsvergelijking met synthetische deling kunt vinden:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Omdat we het eindresultaat gelijk aan 0 krijgen, weten we dat een van de gehele antwoorden op onze derdegraadsvergelijking is - 1.
-
Methode 3 van 3: De discriminerende aanpak gebruiken
Stap 1. Schrijf de vergelijkingen a, b, c en d op
Om op deze manier het antwoord op de derdegraadsvergelijking te vinden, zullen we veel berekeningen doen met de coëfficiënten in onze vergelijking. Daarom is het een goed idee om de waarden van a, b, c en d te noteren voordat u een van de waarden vergeet.
Bijvoorbeeld voor de vergelijking x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1, schrijf het op als a = 1, b = -3, c = 3 en d = -1. Vergeet niet dat wanneer de variabele x geen coëfficiënt heeft, de waarde 1 is.
Stap 2. Bereken 0 = b 2 - 3 airconditioners.
De discriminante benadering voor het vinden van antwoorden op derdegraadsvergelijkingen vereist complexe berekeningen, maar als u de stappen zorgvuldig volgt, kan het erg handig zijn voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen die op andere manieren moeilijk op te lossen zijn. Zoek om te beginnen de waarde 0, wat de eerste significante waarde is van de verschillende die we nodig hebben, en vul de juiste waarde in de formule b 2 - 3 airconditioners.
-
In het voorbeeld dat we gebruiken, lossen we het als volgt op:
-
- B 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Stap 3. Bereken 1= 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 NS.
De volgende significante waarde die we nodig hebben, 1, vereist een langere berekening, maar kan op dezelfde manier worden gevonden als 0. Vul de juiste waarde in de formule 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d om de waarde van 1 te krijgen.
-
In dit voorbeeld lossen we het als volgt op:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Stap 4. Bereken = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Vervolgens berekenen we de "discriminant" waarde van de waarden 0 en 1. De discriminant is een getal dat je informatie geeft over de wortel van de polynoom (je hebt misschien onbewust de kwadratische discriminantformule onthouden: b 2 - 4 airconditioners). In het geval van een derdegraadsvergelijking, als de waarde van de discriminant positief is, heeft de vergelijking drie antwoorden op reële getallen. Als de discriminantwaarde gelijk is aan nul, heeft de vergelijking een of twee antwoorden op reële getallen en hebben sommige antwoorden dezelfde waarde. Als de waarde negatief is, heeft de vergelijking slechts één reëel getalantwoord, omdat de grafiek van de vergelijking de x-as altijd minstens één keer snijdt.)
-
In dit voorbeeld, aangezien zowel 0 als 1 = 0, is het vinden van de waarde van heel eenvoudig. We hoeven het alleen op de volgende manier te berekenen:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, dus onze vergelijking heeft 1 of 2 antwoorden.
-
Stap 5. Bereken C = 3(√((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
De laatste waarde die belangrijk voor ons is om te krijgen, is de waarde van C. Met deze waarde kunnen we alle drie de wortels van onze derdegraadsvergelijking krijgen. Los zoals gewoonlijk op door de waarden van 1 en 0 in de formule in te vullen.
-
In dit voorbeeld krijgen we de waarde van C door:
-
- 3(√((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
-
Stap 6. Bereken de drie wortels van de vergelijking met je variabele
De wortel (antwoord) van je derdegraadsvergelijking wordt bepaald door de formule (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, waarbij u = (-1 + (-3))/2 en n gelijk is aan 1, 2 of 3. Vul je waarden in de formule in om ze op te lossen - er kunnen nogal wat berekeningen zijn die je moet doen, maar u zou alle drie de antwoorden op uw derdegraadsvergelijkingen moeten krijgen!
-
In dit voorbeeld kunnen we het oplossen door de antwoorden te controleren wanneer n gelijk is aan 1, 2 en 3. Het antwoord dat we uit deze berekening krijgen is het mogelijke antwoord op onze derdegraadsvergelijking - elke waarde die we in de derdegraadsvergelijking invullen en het geeft de hetzelfde resultaat. met 0, is het juiste antwoord. Als we bijvoorbeeld een antwoord krijgen dat gelijk is aan 1 als in een van onze berekeningsexperimenten de waarde 1 in de vergelijking x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 geeft het eindresultaat gelijk aan 0. Dus
Stap 1. is een van de antwoorden op onze derdegraadsvergelijking.
