Er zijn verschillende wiskundige functies die hoekpunten gebruiken. Een geometrische figuur heeft meerdere hoekpunten, een stelsel van ongelijkheden heeft een of meer hoekpunten en een parabool of kwadratische vergelijking heeft ook hoekpunten. Hoe u hoekpunten vindt, hangt af van de situatie, maar hier zijn een paar dingen die u moet weten over het vinden van hoekpunten in elk scenario.
Stap
Methode 1 van 5: Het aantal hoekpunten in een vorm vinden
Stap 1. Leer de formule van Euler
De formule van Euler, waarnaar wordt verwezen in geometrie of grafieken, stelt dat voor elke vorm die niet raakt aan zichzelf, het aantal randen plus het aantal hoekpunten, minus het aantal randen, altijd gelijk zal zijn aan twee.
-
Indien geschreven in de vorm van een vergelijking, ziet de formule er als volgt uit: F + V - E = 2
- F verwijst naar het aantal zijden.
- V verwijst naar het aantal hoekpunten of hoekpunten
- E verwijst naar het aantal ribben
Stap 2. Wijzig de formule om het aantal hoekpunten te vinden
Als u het aantal zijden en randen weet dat een vorm heeft, kunt u snel het aantal hoekpunten berekenen met behulp van de formule van Euler. Trek F van beide kanten van de vergelijking af en tel E aan beide kanten op, zodat V aan één kant blijft.
V = 2 - F + E
Stap 3. Voer de bekende getallen in en los op
Het enige dat u op dit punt hoeft te doen, is het aantal zijden en randen in de vergelijking in te vullen voordat u normaal optelt of aftrekt. Het antwoord dat je krijgt is het aantal hoekpunten en lost daarmee het probleem op.
-
Voorbeeld: Voor een rechthoek met 6 zijden en 12 randen…
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Methode 2 van 5: Vertexen vinden in een systeem van lineaire ongelijkheid
Stap 1. Teken de oplossing van het stelsel lineaire ongelijkheden
In sommige gevallen kunnen tekenoplossingen van alle ongelijkheden in het systeem enkele of zelfs alle hoekpunten visueel weergeven. Als je dat echter niet kunt, moet je het hoekpunt algebraïsch vinden.
Als je een grafische rekenmachine gebruikt om de ongelijkheid te tekenen, kun je omhoog vegen op het scherm naar het hoekpunt en op die manier de coördinaten vinden
Stap 2. Verander de ongelijkheid in een vergelijking
Om een stelsel van ongelijkheden op te lossen, moet je de ongelijkheden tijdelijk omzetten in vergelijkingen om de waarde van x en ja.
-
Voorbeeld: Voor een systeem van ongelijkheden:
- y < x
- y > -x + 4
-
Verander de ongelijkheid in:
- y = x
- y > -x + 4
Stap 3. Vervanging van de ene variabele door een andere variabele
Hoewel er andere manieren zijn om op te lossen x en ja, is vervanging vaak de gemakkelijkste manier. Voer waarde in ja van de ene vergelijking in de andere, wat "substitueren" betekent ja in een andere vergelijking met de waarde van x.
-
Voorbeeld: Als:
- y = x
- y = -x + 4
-
Dus y = -x + 4 kan worden geschreven als:
x = -x + 4
Stap 4. Los de eerste variabele op
Nu je maar één variabele in de vergelijking hebt, kun je gemakkelijk de variabele oplossen, x, zoals in andere vergelijkingen: door optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen.
-
Voorbeeld: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4 / 2
- x = 2
Stap 5. Los de overige variabelen op
Voer een nieuwe waarde in voor x in de oorspronkelijke vergelijking om de waarde van te vinden ja.
-
Voorbeeld: y = x
y = 2
Stap 6. Definieer de hoekpunten
Het hoekpunt is de coördinaat die de waarde bevat x en ja die je net hebt ontdekt.
Voorbeeld: (2, 2)
Methode 3 van 5: Het hoekpunt op een parabool vinden met behulp van de symmetrieas
Stap 1. Factor de vergelijking
Herschrijf de kwadratische vergelijking in factorvorm. Er zijn verschillende manieren om een kwadratische vergelijking te ontbinden, maar als je klaar bent, heb je twee groepen tussen haakjes, en als je ze met elkaar vermenigvuldigt, krijg je de originele vergelijking.
-
Voorbeeld: (met behulp van parsing)
- 3x2 - 6x - 45
- Geeft dezelfde factor weer: 3 (x2 - 2x - 15)
- Coëfficiënten a en c vermenigvuldigen: 1 * -15 = -15
- Vindt twee getallen die bij vermenigvuldiging gelijk zijn aan -15 en waarvan de som gelijk is aan de waarde b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Vervang de twee waarden in de vergelijking 'ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15)
- Factoring door groepering: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Stap 2. Zoek het x-snijpunt van de vergelijking
Als de functie x, f(x), gelijk is aan 0, snijdt de parabool de x-as. Dit gebeurt wanneer een factor gelijk is aan 0.
-
Voorbeeld: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- De wortels zijn dus: (-3, 0) en (5, 0)
Stap 3. Zoek het middelpunt
De symmetrieas van de vergelijking ligt precies halverwege tussen de twee wortels van de vergelijking. Je moet de symmetrieas kennen, want daar liggen de hoekpunten.
Voorbeeld: x = 1; deze waarde ligt precies in het midden van -3 en 5
Stap 4. Vul de waarde van x in de oorspronkelijke vergelijking in
Steek de x-waarde van de symmetrie-as in de vergelijking van de parabool. De y-waarde is de y-waarde van het hoekpunt.
Voorbeeld: y = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
Stap 5. Schrijf de hoekpunten op
Tot nu toe geven de laatst berekende waarden van x en y de coördinaten van het hoekpunt.
Voorbeeld: (1, -48)
Methode 4 van 5: Het hoekpunt op een parabool vinden door vierkanten te voltooien
Stap 1. Herschrijf de oorspronkelijke vergelijking in hoekpuntvorm
De "vertex" -vorm is een vergelijking geschreven in de vorm y = a(x - h)^2 + k, en het hoekpunt is (h,k). De oorspronkelijke kwadratische vergelijking moet in deze vorm worden herschreven en daarvoor moet je het kwadraat invullen.
Voorbeeld: y = -x^2 - 8x - 15
Stap 2. Verkrijg de coëfficiënt a
Verwijder de eerste coëfficiënt, a van de eerste twee coëfficiënten van de vergelijking. Laat de laatste coëfficiënt c op dit punt staan.
Voorbeeld: -1 (x^2 + 8x) - 15
Stap 3. Zoek de derde constante tussen de haakjes
De derde constante moet tussen haakjes staan, zodat de waarden tussen de haakjes een perfect vierkant vormen. Deze nieuwe constante is gelijk aan het kwadraat van de halve coëfficiënt in het midden.
-
Voorbeeld: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; zodat,
- -1(x^2 + 8x + 16)
- Onthoud dat de processen die binnen de haakjes worden uitgevoerd, ook buiten de haakjes moeten worden uitgevoerd:
- y = -1(x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
Stap 4. Vereenvoudig de vergelijking
Aangezien de vorm binnen de haakjes nu een perfect vierkant is, kunt u de vorm binnen de haakjes vereenvoudigen tot factorvorm. Tegelijkertijd kunt u waarden buiten de haakjes optellen of aftrekken.
Voorbeeld: y = -1(x + 4)^2 + 1
Stap 5. Zoek de coördinaten op basis van de hoekpuntvergelijking
Bedenk dat de topvorm van de vergelijking is y = a(x - h)^2 + k, met (h,k) welke de coördinaten van het hoekpunt zijn. Nu heb je volledige informatie om waarden in h en k in te voeren en het probleem op te lossen.
- k = 1
- h = -4
- Dan is het hoekpunt van de vergelijking te vinden op: (-4, 1)
Methode 5 van 5: Het hoekpunt op een parabool vinden met behulp van een eenvoudige formule
Stap 1. Zoek direct de x-waarde van het hoekpunt
Wanneer de vergelijking van de parabool is geschreven in de vorm y = ax^2 + bx + c, x van het hoekpunt kan worden gevonden door de formule x = -b / 2a. Steek gewoon de a- en b-waarden uit de vergelijking in de formule om x te vinden.
- Voorbeeld: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
Stap 2. Vul deze waarde in de oorspronkelijke vergelijking in
Door de waarde van x in de vergelijking in te vullen, kun je y vinden. De y-waarde is de y-waarde van de hoekpuntcoördinaten.
-
Voorbeeld: y = -x^2 - 8x - 15 = -(-4)^2 - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Stap 3. Noteer de coördinaten van de hoekpunten
De x- en y-waarden die u krijgt, zijn de coördinaten van het hoekpunt.
