3 manieren om een trinomiaal factor te bepalen

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-15 08:20

Een trinominaal is een algebraïsche uitdrukking die uit drie termen bestaat. Hoogstwaarschijnlijk begin je te leren hoe je een kwadratische trinomiale factor kunt ontbinden, wat betekent dat een trinominaal is geschreven in de vorm ax² + bx + c. Er zijn een paar trucs om te leren, die voor veel verschillende soorten kwadratische trinomialen kunnen worden gebruikt, maar je zult ze beter en sneller kunnen gebruiken door te oefenen. Hogere orde polynomen, met termen als x³ of x⁴, kan niet altijd op dezelfde manier worden opgelost, maar je kunt vaak eenvoudige factoring of substitutie gebruiken om er een probleem van te maken dat kan worden opgelost zoals elke andere kwadratische formule.

Stap

Methode 1 van 3: Factoring x² + bx + c

Stap 1. Leer PLDT-vermenigvuldiging

Je hebt misschien geleerd hoe je PLDT kunt vermenigvuldigen, of "First, Outside, In, Last" om uitdrukkingen zoals (x+2)(x+4) te vermenigvuldigen. Het is handig om te weten hoe deze vermenigvuldiging werkt voordat we rekening houden met:

Vermenigvuldig de stammen Eerst: (x+2)(x+4) = x² + _
Vermenigvuldig de stammen Buiten: (x+2)(x+

Stap 4.) = x²+ 4x + _
Vermenigvuldig de stammen In: (x+

Stap 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Vermenigvuldig de stammen Laatste: (x+

Stap 2.)(x

Stap 4.) = x²+4x+2x

Stap 8.
Vereenvoudig: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Stap 2. Begrijp factoring

Wanneer je twee binomialen vermenigvuldigt met behulp van de PLDT-methode, krijg je een trinominaal (een uitdrukking met drie termen) in de vorm a x²+ b x+ c, waarbij a, b en c gewone getallen zijn. Als je begint met een vergelijking die dezelfde vorm heeft, kun je deze weer ontbinden in twee binomialen.

Als de vergelijkingen niet in deze volgorde zijn geschreven, herschikt u de vergelijkingen zodat ze deze volgorde hebben. Herschrijf bijvoorbeeld 3x - 10 + x² Wordt x² + 3x - 10.
Omdat de hoogste macht 2 is (x², dit type uitdrukking wordt kwadratisch genoemd.

Stap 3. Laat een spatie vrij voor het antwoord in de vorm van PLDT-vermenigvuldiging

Voor nu, gewoon schrijven (_ _)(_ _) waar je het antwoord gaat schrijven. We vullen het terwijl we eraan werken

Schrijf geen + of – tussen de lege termen omdat we het juiste teken nog niet kennen

Stap 4. Vul de eerste termen in

Voor eenvoudige problemen is de eerste term van je trinominaal gewoon x², de termen in de eerste positie zijn altijd x en x. Dit zijn de factoren van de term x² omdat x keer x = x².

Ons voorbeeld x² + 3x - 10 beginnend met x², zodat we kunnen schrijven:
(x _)(x _)
We zullen in de volgende sectie aan complexere problemen werken, inclusief trinomialen die beginnen met termen als 6x² of -x². Volg in de tussentijd deze voorbeeldvragen.

Stap 5. Gebruik factoring om de laatste termen te raden

Als je teruggaat en de stappen leest voor het vermenigvuldigen van PLDT, zul je zien dat het vermenigvuldigen van de laatste termen de laatste term in de polynoom oplevert (termen die geen x hebben). Dus om te ontbinden, moeten we twee getallen vinden die, wanneer vermenigvuldigd, de laatste term zullen opleveren.

In ons voorbeeld x² + 3x - 10, de laatste term is -10.
Wat zijn de factoren van -10? Welk getal wordt vermenigvuldigd met -10?
Er zijn verschillende mogelijkheden: -1 keer 10, 1 keer -10, -2 keer 5, of 2 keer -5. Schrijf deze paren ergens op om ze te onthouden.
Verander ons antwoord nog niet. Ons antwoord zou er nog steeds zo uit moeten zien: (x _)(x _).

Stap 6. Test de mogelijkheden die passen bij het Outer en Inner product

We hebben de laatste termen teruggebracht tot een paar mogelijkheden. Gebruik het proefsysteem om elke mogelijkheid te testen, vermenigvuldig de buitenste en binnenste termen en vergelijk het product met onze trinomial. Bijvoorbeeld:

Ons oorspronkelijke probleem had de term "x" bij 3x, dus onze testresultaten zouden met deze term moeten overeenkomen.
Proeven -1 en 10: (x-1)(x+10). Buiten + Binnen = 10x - x = 9x. Mis.
Toetsen 1 en -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Dit is fout. Als je -1 en 10 test, zul je zien dat 1 en -10 het tegenovergestelde zijn van het bovenstaande antwoord: -9x in plaats van 9x.
Proeven -2 en 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Het resultaat komt overeen met de initiële polynoom, dus hier is het juiste antwoord: (x-2)(x+5).
In eenvoudige gevallen als deze, als er geen constante voor de term x. staat², kun je de snelle manier gebruiken: tel gewoon de twee factoren bij elkaar op en zet er een "x" achter (-2+5 → 3x). Deze methode werkt echter niet voor complexere problemen, dus het is beter om de hierboven beschreven "lange weg" te onthouden.

Methode 2 van 3: Factoring van meer complexe trinomialen

Stap 1. Gebruik eenvoudige factoring om complexere problemen eenvoudiger te maken

Je moet bijvoorbeeld rekening houden met 3x² + 9x - 30. Zoek een getal dat alle drie de termen in rekening kan brengen ("grootste gemene deler" of GCF). In dit geval is de GCF 3:

3x² = (3)(x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Dus 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). We kunnen de nieuwe trinomiale factor buiten beschouwing laten met behulp van de stappen in de bovenstaande sectie. Ons definitieve antwoord zal zijn: (3)(x-2)(x+5).

Stap 2. Zoek naar meer complicerende factoren

Soms kan de factoring een variabele omvatten, of moet u meerdere keren factoring gebruiken om de eenvoudigst mogelijke uitdrukking te vinden. Hier zijn enkele voorbeelden:

2x²y + 14xy + 24y = (2j)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Vergeet niet de nieuwe trinominaal te refactoren met behulp van de stappen in methode 1. Controleer uw werk en zoek naar voorbeelden van soortgelijke problemen in de voorbeeldvragen onderaan deze pagina.

Stap 3. Los problemen op met een getal voor x².

Sommige kwadratische trinomialen kunnen niet worden teruggebracht tot het eenvoudigste type probleem. Leer hoe u problemen zoals 3x. kunt oplossen² + 10x + 8, daarna zelf oefenen met de voorbeeldvragen onderaan deze pagina:

Stel ons antwoord in op: (_ _)(_ _)
Onze "Eerste" termen hebben elk één x, en vermenigvuldigen geeft 3x². Er is maar één mogelijkheid: (3x _)(x _).
Noem de factoren van 8. De kansen zijn 1 keer 8 of 2 keer 4.
Test deze mogelijkheid met behulp van de Outer en Inner termen. Merk op dat de volgorde van de factoren erg belangrijk is omdat de buitenste term wordt vermenigvuldigd met 3x in plaats van x. Probeer elke mogelijkheid totdat je Out+In = 10x krijgt (van het oorspronkelijke probleem):
(3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x Nee
(3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x Nee
(3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x Nee
(3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Ja. Dit is de juiste factor.

Stap 4. Gebruik substitutie voor trinomialen van hogere orde

Je wiskundeboek zal je misschien verrassen met vergelijkingen met hoge machten, zoals x⁴, zelfs nadat u eenvoudige factoring hebt gebruikt om het probleem gemakkelijker te maken. Probeer een nieuwe variabele te vervangen die er een probleem van maakt dat je weet op te lossen. Bijvoorbeeld:

x⁵+13x³+36x
=(x)(x⁴+13x²+36)
Laten we een nieuwe variabele maken. Laten we zeggen y = x² en zet erin:
(x)(y²+13j+36)
=(x)(y+9)(y+4). Converteer het nu terug naar de initiële variabele:
=(x)(x²+9)(x²+4)
= (x)(x±3)(x±2)

Methode 3 van 3: Factoring van speciale gevallen

Stap 1. Zoek priemgetallen

Kijk of de constante in de eerste of derde term van de trinominaal een priemgetal is. Een priemgetal is alleen deelbaar door zichzelf en door 1, dus er is maar één mogelijk paar binominale factoren.

Bijvoorbeeld in x² + 6x + 5, 5 is een priemgetal, dus de binomiaal moet de vorm hebben (_ 5)(_ 1).
In het probleem van 3x²+10x+8, 3 is een priemgetal, dus de binomiaal moet de vorm hebben (3x _)(x _).
Voor vragen 3x²+4x+1, zowel 3 als 1 zijn priemgetallen, dus de enige mogelijke oplossing is (3x+1)(x+1). (Je moet dit getal nog steeds vermenigvuldigen om je antwoord te controleren, omdat sommige uitdrukkingen helemaal niet kunnen worden ontbonden - bijvoorbeeld 3x²+100x+1 heeft geen factor.)

Stap 2. Zoek uit of de trinominaal een perfect vierkant is

Een perfecte vierkante trinominaal kan worden ontbonden in twee identieke binomials, en de factor wordt meestal geschreven als (x+1)² en niet (x+1)(x+1). Hier zijn enkele voorbeelden die vaak voorkomen in vragen:

x²+2x+1=(x+1)², en x²-2x+1=(x-1)²
x²+4x+4=(x+2)², en x²-4x+4=(x-2)²
x²+6x+9=(x+3)², en x²-6x+9=(x-3)²
Perfect vierkant trinominaal in de vorm a x² + bx + c heeft altijd termen a en c die positieve perfecte kwadraten zijn (zoals 1, 4, 9, 16 of 25) en één term b (positief of negatief) die gelijk is aan 2(√a * √c).

Stap 3. Zoek uit of een probleem geen oplossing heeft

Niet alle trinomialen kunnen worden ontbonden. Als u een kwadratische trinominaal (ax²+bx+c), gebruik de kwadratische formule om het antwoord te vinden. Als het enige antwoord de vierkantswortel van een negatief getal is, is er geen oplossing voor een reëel getal, dan heeft het probleem geen factoren.

Gebruik voor niet-vierkante trinomialen het Eisenstein-criterium, dat wordt beschreven in de sectie Tips

Antwoorden en voorbeeldvragen

Antwoorden op "ingewikkelde factoring"-vragen.

Dit zijn vragen uit de stap "meer gecompliceerde factoren". We hebben de problemen vereenvoudigd tot eenvoudigere problemen, dus probeer ze op te lossen met behulp van de stappen in methode 1, controleer dan je werk hier:
- (2j)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²
Probeer complexere factoringproblemen.

Deze problemen hebben dezelfde factor in elke term die eerst moet worden verwerkt. Blokkeer de lege plekken na het gelijkteken om de antwoorden te zien, zodat je je werk kunt controleren:
- 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) blokkeer de blanco om het antwoord te zien
- -5x³ja²+30x²ja²-25j²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
Oefen met vragen. Deze problemen kunnen niet worden verwerkt in eenvoudigere vergelijkingen, dus je zult het antwoord in de vorm (_x + _)(_x + _) moeten vinden met vallen en opstaan:
- 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) blok om het antwoord te zien
- 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (Hint: misschien wilt u meer dan één factorpaar proberen voor 9x.)
Tips
- Als u er niet achter kunt komen hoe u een kwadratische trinominaal (ax²+bx+c), kun je de kwadratische formule gebruiken om x te vinden.
- Hoewel u niet hoeft te weten hoe u dit moet doen, kunt u de Eisenstein-criteria gebruiken om snel te bepalen of een polynoom niet kan worden vereenvoudigd en in factoren verwerkt. Dit criterium is van toepassing op elke polynoom, maar kan het beste worden gebruikt voor trinomialen. Als er een priemgetal p is dat de laatste twee termen gelijk verdeelt en aan de volgende voorwaarden voldoet, dan kan de polynoom niet worden vereenvoudigd:
  - Constante termen (zonder variabelen) zijn veelvouden van p maar geen veelvouden van p².
  - Het voorvoegsel (bijvoorbeeld een in ax²+bx+c) is geen veelvoud van p.
  - Bijvoorbeeld 14x² +45x +51 kan niet worden vereenvoudigd omdat er een priemgetal (3) is dat deelbaar is door zowel 45 als 51, maar niet deelbaar door 14, en 51 niet deelbaar is door 3².
Waarschuwing

Hoewel dit geldt voor kwadratische trinomialen, is de trinominaal die kan worden ontbonden niet noodzakelijk het product van twee binomials. Bijvoorbeeld x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).