Afstand, vaak gezien de variabele "s", is een ruimtemaat die een rechte lijn is tussen twee punten. Afstand kan verwijzen naar de ruimte tussen twee onbeweeglijke punten (bijvoorbeeld de lengte van een persoon is de afstand van de onderkant van de voeten tot de bovenkant van het hoofd) of het kan verwijzen naar de ruimte tussen de huidige positie van een bewegend object en de oorspronkelijke locatie waar het object begon te bewegen. De meeste afstandsproblemen kunnen worden opgelost met de vergelijking s = v × t, waarbij s de afstand is, v de gemiddelde snelheid is en t de tijd is, of gebruik s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2), waar (x1, ja1) en (x2, ja2) zijn de x- en y-coördinaten van de twee punten.
Stap
Methode 1 van 2: Afstand berekenen met gemiddelde snelheid en tijd
Stap 1. Zoek de gemiddelde snelheid en tijdwaarden
Bij het berekenen van de afstand die een bewegend object heeft afgelegd, zijn er twee stukjes informatie die belangrijk zijn voor deze berekening: snelheid (of snelheid) en tijd dat het bewegende object heeft gereisd. Met deze informatie is het mogelijk om de door het object afgelegde afstand te berekenen met de formule s = v × t.
Laten we in dit gedeelte een voorbeeldprobleem oplossen om het proces van het gebruik van de afstandsformule beter te begrijpen. Laten we zeggen dat we over een weg rijden met 120 mijl per uur (ongeveer 193 km per uur) en we willen weten hoe ver we in een half uur zullen hebben afgelegd. Gebruik maken van 120 mijl per uur als de waarde van de gemiddelde snelheid en 0,5 uur als de waarde van tijd, zullen we dit probleem in de volgende stap oplossen.
Stap 2. Vermenigvuldig de gemiddelde snelheid met de tijd
Na het kennen van de gemiddelde snelheid van een bewegend object en de tijd die het heeft afgelegd, is het relatief eenvoudig om de afgelegde afstand te berekenen. Vermenigvuldig de twee waarden om het antwoord te vinden.
- Houd er echter rekening mee dat als de tijdseenheid die wordt gebruikt in de gemiddelde snelheidswaarde verschilt van de tijdseenheid die wordt gebruikt in de tijdswaarde, u er een moet wijzigen om deze aan te passen. Als we bijvoorbeeld een gemiddelde snelheidswaarde hadden gemeten in km per uur en een tijdwaarde gemeten in minuten, zou u de tijdwaarde moeten delen door 60 om deze om te rekenen naar uren.
- Laten we ons voorbeeldprobleem afmaken. 120 mijl/uur × 0,5 uur = 60 mijl. Merk op dat de eenheden in de tijdwaarde (uren) de noemer van de gemiddelde snelheid (uren) weglaten, waardoor alleen de eenheden van afstand (mijlen) overblijven.
Stap 3. Wijzig de vergelijking om een andere variabele te berekenen
De eenvoud van de basisafstandsvergelijking (s = v × t) maakt het gemakkelijk om de vergelijking te gebruiken om de waarde van een andere variabele dan afstand te vinden. Isoleer gewoon de variabele die u wilt vinden volgens de basisregels van de algebra en voer vervolgens de waarden van de andere twee variabelen in om de waarde van de derde variabele te vinden. Met andere woorden, om de gemiddelde snelheid van het object te berekenen, gebruikt u de vergelijking: v = s/t en om de verstreken tijd van het object te berekenen, gebruikt u de vergelijking t = s/v.
- Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we weten dat een auto in 50 minuten 60 mijl heeft afgelegd, maar dat we geen waarde hebben voor de gemiddelde snelheid terwijl het object beweegt. In dit geval kunnen we de variabele v isoleren in de basisafstandsvergelijking om v = d/t te krijgen, en dan gewoon 60 mijl / 50 minuten delen om het antwoord 1,2 mijl/minuut te krijgen.
- Merk op dat in het voorbeeld het antwoord voor snelheid een ongebruikelijke eenheid heeft (mijlen/minuut). Om een antwoord te krijgen in de meer gebruikelijke mijlen/uur, vermenigvuldigt u met 60 minuten/uur om het resultaat te krijgen 72 mijl/uur.
Stap 4. Merk op dat de variabele "v" in de afstandsformule verwijst naar de gemiddelde snelheid
Het is belangrijk om te begrijpen dat de basisafstandsformule een vereenvoudigd beeld geeft van de beweging van een object. De afstandsformule gaat ervan uit dat een bewegend object een constante snelheid heeft - met andere woorden, het veronderstelt dat een bewegend object een enkele, onveranderlijke snelheid heeft. Voor abstracte wiskundige problemen, zoals die je in een academische setting kunt tegenkomen, is het soms nog steeds mogelijk om de beweging van een object te modelleren met deze aanname. In het echte leven weerspiegelen deze voorbeelden echter vaak niet nauwkeurig de beweging van bewegende objecten, die in feite in de loop van de tijd kunnen versnellen, vertragen, stoppen en achteruitrijden.
- In het bovenstaande voorbeeldprobleem hebben we bijvoorbeeld geconcludeerd dat om 60 mijl in 50 minuten af te leggen, we 72 mijl per uur zouden moeten reizen. Dit geldt echter alleen als u de hele reis met één snelheid rijdt. Als we bijvoorbeeld 80 mijl/uur reizen voor de helft van de reis en 64 mijl/uur voor de resterende helft, zullen we nog steeds 60 mijl afleggen in 50 minuten - 72 mijl/uur = 60 mijl/50 minuten = ????
- Op berekeningen gebaseerde oplossingen die gebruik maken van afgeleiden zijn vaak een betere keuze dan afstandsformules voor het definiëren van de snelheid van een object in reële situaties, omdat veranderingen in snelheid mogelijk zijn.
Methode 2 van 2: De afstand tussen twee punten berekenen
Stap 1. Zoek de twee ruimtelijke coördinaten van de twee punten
Wat als u, in plaats van de afstand te berekenen die een bewegend object heeft afgelegd, de afstand tussen twee onbeweeglijke objecten moet berekenen? In een dergelijk geval zal de hierboven beschreven op snelheid gebaseerde afstandsformule niet werken. Gelukkig kunnen er verschillende afstandsformules worden gebruikt om eenvoudig de afstand in rechte lijn tussen twee punten te berekenen. Om deze formule te gebruiken, moet u echter de coördinaten van de twee punten weten. Als u eendimensionale afstanden hanteert (zoals op een getallenlijn), zullen de coördinaten uit twee getallen bestaan, x1 en x2. Als je afstanden in twee dimensies verwerkt, heb je twee waarden nodig (x, y), (x1, ja1) en (x2, ja2). Ten slotte heb je voor drie dimensies de waarde (x1, ja1, z1) en (x2, ja2, z2).
Stap 2. Bereken de eendimensionale afstand door de coördinaatwaarden van twee punten af te trekken
Het berekenen van de eendimensionale afstand tussen twee punten als u de waarde van elk punt al weet, is eenvoudig. Gebruik gewoon de formule s = |x2 - x1|. In deze formule trek je x. af1 van x2, neem dan de absolute waarde van je antwoord om de afstand tussen x. te vinden1 en x2. Gewoonlijk wilt u de eendimensionale afstandsformule gebruiken wanneer de twee punten op een lijn- of getallenas liggen.
- Merk op dat deze formule absolute waarden gebruikt (symbool " | |"). Absolute waarde betekent alleen dat de waarde binnen het symbool positief wordt als deze negatief is.
-
Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we langs de kant van de weg stoppen op een perfect rechte snelweg. Als er een stad 5 mijl voor ons ligt en een andere stad 1 mijl achter ons, hoe ver zijn de twee steden dan? Als we stad 1 instellen als x1 = 5 en stad 2 als x1 = -1, we kunnen s, de afstand tussen de twee steden, op de volgende manier berekenen:
- s = |x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mijl.
Stap 3. Bereken de tweedimensionale afstand met behulp van de stelling van Pythagoras
Het berekenen van de afstand tussen twee punten in een tweedimensionale ruimte is ingewikkelder dan in een eendimensionaal, maar niet moeilijk. Gebruik gewoon de formule s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2). In deze formule trek je de twee x-coördinaten af, bereken je de vierkantswortel, trek je de twee y-coördinaten af, bereken je de vierkantswortel, tel je de twee resultaten bij elkaar op en bereken je de vierkantswortel om de afstand tussen de twee punten te vinden. Deze formule is van toepassing op een tweedimensionaal vlak - bijvoorbeeld op een gewone x/y-grafiek.
- De tweedimensionale afstandsformule maakt gebruik van de stelling van Pythagoras, die stelt dat de lengte van de schuine zijde van de driehoek aan de rechterkant gelijk is aan de vierkantswortel van het vierkant aan de andere twee zijden.
- Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we twee punten in het x-y-vlak hebben: (3, -10) en (11, 7), die respectievelijk het middelpunt van een cirkel en een punt op de cirkel vertegenwoordigen. Om de rechte lijnafstand tussen twee punten te vinden, kunnen we deze op de volgende manier berekenen:
- s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Stap 4. Bereken de driedimensionale afstand door de tweedimensionale afstandsformule te wijzigen
In drie dimensies hebben punten naast x- en y-coördinaten ook z-coördinaten. Om de afstand tussen twee punten in een driedimensionale ruimte te berekenen, gebruikt u s = ((x2 - x1)2 + (ja2 - ja1)2 + (z2 - z1)2). Dit is een gewijzigde vorm van de hierboven beschreven tweedimensionale afstandsformule die de z-coördinaat bevat. Door de twee z-coördinaten af te trekken, de vierkantswortel te berekenen en door te gaan met de rest van de formule, weet je zeker dat je uiteindelijke antwoord de driedimensionale afstand tussen de twee punten weergeeft.
- Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we astronauten zijn die in de ruimte tussen twee asteroïden zweven. De ene asteroïde bevindt zich ongeveer 8 km voor ons, 2 km naar rechts en 5 km onder ons, terwijl de andere ongeveer 3 km achter, 3 km naar links en 4 km boven ons ligt. Als we de posities van de twee asteroïden weergeven met de coördinaten (8, 2, -5) en (-3, -3, 4), kunnen we de afstand ertussen op de volgende manier berekenen:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
