3 manieren om logaritmen op te lossen

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-15 08:20

Logaritmen lijken misschien moeilijk op te lossen, maar het oplossen van logaritmeproblemen is eigenlijk een stuk eenvoudiger dan je zou denken, omdat logaritmen gewoon een andere manier zijn om exponentiële vergelijkingen te schrijven. Als je eenmaal de logaritme in een meer bekende vorm hebt herschreven, zou je hem moeten kunnen oplossen zoals elke andere gewone exponentiële vergelijking.

Stap

Voordat u begint: leer logaritmische vergelijkingen exponentieel uit te drukken

Stap 1. Begrijp de definitie van logaritme

Voordat u logaritmische vergelijkingen oplost, moet u begrijpen dat logaritmen in feite een andere manier zijn om exponentiële vergelijkingen te schrijven. De exacte definitie is als volgt:

• y = log_B (x)

  Als en alleen als: B^ja = x

• Onthoud dat b het grondtal van de logaritme is. Deze waarde moet aan de volgende voorwaarden voldoen:

  • b > 0
  • b is niet gelijk aan 1
• In de vergelijking is y de exponent en is x het resultaat van het berekenen van de exponentiële gezocht in de logaritme.

Stap 2. Beschouw de logaritmische vergelijking

Als je naar de vergelijking van het probleem kijkt, zoek dan naar de basis (b), de exponent (y) en de exponentiële (x).

• Voorbeeld:

  5 = log₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Stap 3. Verplaats de exponentiële naar één kant van de vergelijking

Verplaats de waarde van uw machtsverheffing, x, naar één kant van het isgelijkteken.

• Bijvoorbeeld:

  1024 = ?

Stap 4. Voer de waarde van de exponent in op zijn basis

Uw basiswaarde, b, moet worden vermenigvuldigd met hetzelfde aantal waarden vertegenwoordigd door de exponent y.

• Voorbeeld:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Deze vergelijking kan ook worden geschreven als: 4⁵

Stap 5. Herschrijf je definitieve antwoord

Je zou nu in staat moeten zijn om de logaritmische vergelijking te herschrijven als een exponentiële vergelijking. Controleer uw antwoord nogmaals en zorg ervoor dat beide zijden van de vergelijking dezelfde waarde hebben.

• Voorbeeld:

  4⁵ = 1024

Methode 1 van 3: De waarde van X vinden

Stap 1. Splits de logaritmische vergelijking

Voer een omgekeerde berekening uit om het deel van de vergelijking dat geen logaritmische vergelijking is, naar de andere kant te verplaatsen.

• Voorbeeld:

  log₃(x + 5) + 6 = 10

  • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • log₃(x + 5) = 4

Stap 2. Herschrijf deze vergelijking in exponentiële vorm

Gebruik wat je al weet over de relatie tussen logaritmische vergelijkingen en exponentiële vergelijkingen, en herschrijf ze in exponentiële vorm die eenvoudiger en gemakkelijker op te lossen is.

• Voorbeeld:

  log₃(x + 5) = 4

  • Vergelijk deze vergelijking met de definitie van [ y = log_B (x)], dan kun je concluderen dat: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Herschrijf de vergelijking als: b^ja = x
  • 3⁴ = x + 5

Stap 3. Zoek de waarde van x

Zodra dit probleem is vereenvoudigd tot een eenvoudige exponentiële vergelijking, zou u het moeten kunnen oplossen, net als elke andere exponentiële vergelijking.

• Voorbeeld:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Stap 4. Schrijf je definitieve antwoord op

Het laatste antwoord dat je krijgt als je de waarde van x vindt, is het antwoord op je oorspronkelijke logaritmeprobleem.

• Voorbeeld:

  x = 76

Methode 2 van 3: De waarde van X vinden met behulp van de logaritmische optellingsregel

Stap 1. Begrijp de regels voor het toevoegen van logaritmen

De eerste eigenschap van logaritmen die bekend staat als de "logaritmische optelregel" stelt dat de logaritme van een product gelijk is aan de som van de logaritmen van de twee waarden. Schrijf deze regel in vergelijkingsvorm:

• log_B(m * n) = log_B(m) + log_B(N)

• Denk eraan dat het volgende moet gelden:

  • m > 0
  • n > 0

Stap 2. Splits de logaritme naar één kant van de vergelijking

Gebruik omgekeerde berekeningen om delen van de vergelijking te verplaatsen zodat de hele logaritmische vergelijking aan de ene kant ligt en de andere componenten aan de andere kant.

• Voorbeeld:

  log₄(x + 6) = 2 - log₄(x)

  • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(x)
  • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

Stap 3. Pas de logaritmische optelregel toe

Als er twee logaritmen zijn die optellen in een vergelijking, kun je de logaritmeregel gebruiken om ze samen te voegen.

• Voorbeeld:

  log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

  • log₄[(x + 6) * x] = 2
  • log₄(x² + 6x) = 2

Stap 4. Herschrijf deze vergelijking in exponentiële vorm

Onthoud dat logaritmen gewoon een andere manier zijn om exponentiële vergelijkingen te schrijven. Gebruik de logaritmische definitie om de vergelijking te herschrijven in een vorm die kan worden opgelost.

• Voorbeeld:

  log₄(x² + 6x) = 2

  • Vergelijk deze vergelijking met de definitie van [ y = log_B (x)], kun je concluderen dat: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Herschrijf deze vergelijking zodat: b^ja = x
  • 4² = x² + 6x

Stap 5. Zoek de waarde van x

Zodra deze vergelijking is veranderd in een reguliere exponentiële vergelijking, gebruikt u wat u weet over exponentiële vergelijkingen om de waarde van x te vinden zoals u normaal zou doen.

• Voorbeeld:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Stap 6. Schrijf je antwoorden op

Op dit punt zou u het antwoord op de vergelijking moeten hebben. Schrijf je antwoord in de daarvoor bestemde ruimte.

• Voorbeeld:

  x = 2

• Merk op dat je geen negatief antwoord kunt geven voor de logaritme, dus je kunt het antwoord weggooien x - 8.

Methode 3 van 3: De waarde van X vinden met behulp van de logaritmische delingsregel

Stap 1. Begrijp de logaritmische delingsregel

Op basis van de tweede eigenschap van logaritmen, bekend als de "logaritmische delingsregel", kan de logaritme van een deling worden herschreven door de logaritme van de noemer van de teller af te trekken. Schrijf deze vergelijking als volgt:

• log_B(m/n) = log_B(m) - log_B(N)

• Denk eraan dat het volgende moet gelden:

  • m > 0
  • n > 0

Stap 2. Splits de logaritmische vergelijking opzij

Voordat u logaritmische vergelijkingen oplost, moet u alle logaritmische vergelijkingen naar één kant van het isgelijkteken overbrengen. De andere helft van de vergelijking moet naar de andere kant worden verplaatst. Gebruik omgekeerde berekeningen om het op te lossen.

• Voorbeeld:

  log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

Stap 3. Pas de logaritmische delingsregel toe

Als er twee logaritmen in een vergelijking staan, en de ene moet van de andere worden afgetrokken, dan kun en moet je de delingsregel gebruiken om deze twee logaritmen bij elkaar te brengen.

• Voorbeeld:

  log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Stap 4. Schrijf deze vergelijking in exponentiële vorm

Nadat er nog maar één logaritmische vergelijking over is, gebruikt u de logaritmische definitie om deze in exponentiële vorm te schrijven, waardoor de log wordt geëlimineerd.

• Voorbeeld:

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Vergelijk deze vergelijking met de definitie van [ y = log_B (x)], kun je concluderen dat: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Herschrijf de vergelijking als: b^ja = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Stap 5. Zoek de waarde van x

Zodra de vergelijking exponentieel is, zou u de waarde van x moeten kunnen vinden zoals u normaal zou doen.

• Voorbeeld:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24 / 8
  • x = 3

Stap 6. Schrijf je definitieve antwoord op

Onderzoek en controleer uw rekenstappen. Als je zeker weet dat het antwoord juist is, schrijf het dan op.

• Voorbeeld:

  x = 3