Een vijfhoek is een veelhoek met vijf rechte zijden. De meeste problemen die je in de wiskundeles tegenkomt, bevatten een regelmatige vijfhoek met vijf gelijke zijden. Er zijn twee algemene manieren om de breedte te vinden, afhankelijk van de hoeveelheid informatie die je hebt.
Stap
Methode 1 van 3: Gebied met zijlengte en apothem vinden
Stap 1. Begin met de zijlengtes en het apothema
Deze methode kan worden gebruikt voor regelmatige vijfhoeken met vijf gelijke zijden. Naast de lengtes van de zijkanten heb je het "apothem" van de vijfhoek nodig. Het apothema is een lijn van het midden van de vijfhoek naar een van de zijden die de zijde in een rechte hoek van 90º snijdt.
- Verwar het apothema niet met de straal, die een van de hoekpunten raakt en niet het middelpunt. Als u alleen de lengte van de zijde en de straal weet, slaat u deze methode over en gaat u verder met de volgende methode.
-
We gebruiken het voorbeeld van een vijfhoek met zijdelengte
Stap 3. eenheid en apotem
Stap 2. eenheid.
Stap 2. Verdeel de vijfhoek in vijf driehoeken
Trek vijf lijnen vanuit het midden van de vijfhoek, die naar elk hoekpunt leiden. Nu heb je vijf driehoeken.
Stap 3. Zoek de oppervlakte van een van de driehoeken
Elke driehoek heeft voetstuk die gelijk is aan de zijde van de vijfhoek. Elke driehoek heeft ook lang wat gelijk is aan het apothema van de vijfhoek. (Vergeet niet dat de hoogte van een driehoek zich uitstrekt van het hoekpunt van de driehoek naar de andere kant en een rechte hoek vormt.) Om het gebied van een driehoek te vinden, berekent u eenvoudig x basis x hoogte.
-
In ons voorbeeld is de oppervlakte van de driehoek = x 3 x 2 =
Stap 3. eenheid in het kwadraat.
Stap 4. Vermenigvuldig met vijf om de totale oppervlakte te vinden
We hebben de vijfhoek in vijf gelijke driehoeken verdeeld. Om de totale oppervlakte te vinden, vermenigvuldigt u eenvoudig de oppervlakte van een van de driehoeken met vijf.
-
In ons voorbeeld is L(totale vijfhoek) = 5 x L(driehoek) = 5 x 3 =
Stap 15. eenheid in het kwadraat.
Methode 2 van 3: Gebied vinden vanaf zijlengte
Stap 1. Begin met alleen de zijlengtes
Deze methode is alleen van toepassing op regelmatige vijfhoeken die vijf gelijke zijden hebben.
-
In dit voorbeeld gebruiken we een vijfhoek met zijdelengte
Stap 7. eenheid.
Stap 2. Verdeel de vijfhoek in vijf driehoeken
Trek een lijn van het middelpunt van de vijfhoek naar een willekeurig hoekpunt. Herhaal dit voor alle hoekpunten. Nu heb je vijf driehoeken, elk van dezelfde grootte.
Stap 3. Verdeel de driehoek in twee
Trek een lijn van het midden van de vijfhoek naar de basis van een van de driehoeken. Deze lijn moet de basis raken in een rechte hoek van 90, waardoor de driehoek in twee kleinere gelijke driehoeken wordt verdeeld.
Stap 4. Noem een van de kleinere driehoeken
We kunnen al een van de zijden en een van de hoeken van de kleinere driehoek noemen:
- voetstuk driehoek heeft de lengte van de zijde van de vijfhoek. In ons voorbeeld is de lengte van de basis x 7 = 3,5 eenheden.
- Groot hoek in het midden van de vijfhoek is altijd 36º. (Vanaf het middelpunt van 360 kun je het verdelen in 10 van deze kleinere driehoeken. 360 10 = 36, dus de hoek in een van de driehoeken is 36º.)
Stap 5. Bereken de hoogte van de driehoek. Lang van deze driehoek is de zijde die loodrecht staat (een rechte hoek vormt) met de zijde van de vijfhoek, wijzend naar het midden. We kunnen basis trigonometrie gebruiken om de lengte van deze zijde te vinden:
- In een rechthoekige driehoek, raaklijn van een hoek gelijk is aan de lengte van de tegenoverliggende zijde gedeeld door de lengte van de aangrenzende zijde.
- De zijde tegenover de hoek van 36º is de basis van de driehoek (de helft van de zijde van de vijfhoek). De zijde die grenst aan de hoek 36º is de hoogte van de driehoek.
- tan(36º) = tegenover / aangrenzend
- In ons voorbeeld is tan(36º) = 3,5 / hoogte
- hoogte x bruin (36º) = 3, 5
- hoogte = 3,5 / bruin (36 ")
- hoogte = (ongeveer) 4, 8 eenheid.
Stap 6. Zoek het gebied van de driehoek
De oppervlakte van een driehoek is basis x hoogte. (L = bij). Nu u de hoogte weet, voert u deze waarden in om de oppervlakte van uw kleine driehoek te vinden.
In ons voorbeeld is de oppervlakte van de kleine driehoek = at = (3, 5)(4, 8) = 8, 4 eenheden in het kwadraat
Stap 7. Vermenigvuldigen om het gebied van de vijfhoek te vinden
Een van deze kleinere driehoeken is 1/10 van de oppervlakte van de vijfhoek. Om de totale oppervlakte te vinden, vermenigvuldigt u de oppervlakte van de kleinere driehoek met 10.
In ons voorbeeld is de oppervlakte van de hele vijfhoek = 8, 4 x 10 = 84 eenheid in het kwadraat.
Methode 3 van 3: Formules gebruiken
Stap 1. Gebruik de omtrek en apothema
Het apothema is een lijn vanuit het midden van een vijfhoek die een zijde in een rechte hoek raakt. Als u de lengte van het apothema krijgt, kunt u deze eenvoudige formule gebruiken.
- Oppervlakte van een regelmatige vijfhoek = ka/2, waarbij k = omtrek en a = apothema.
- Als je de omtrek niet weet, bereken dan de omtrek uit de lengte van de zijde: k = 5s, waarbij s de lengte van de zijde is.
Stap 2. Gebruik de zijlengtes
Als je alleen de lengtes van de zijkanten weet, gebruik dan de volgende formule:
- Oppervlakte van regelmatige vijfhoek = (5 s 2) / (4tan(36º)), waarbij s = zijlengte.
- tan(36º) = (5-2√5). Dus als je rekenmachine geen tan-functie heeft, gebruik dan de formule Oppervlakte = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Stap 3. Kies een formule die alleen de straal gebruikt
Je kunt het gebied zelfs vinden als je alleen de straal kent. Gebruik deze formule:
Oppervlakte van regelmatige vijfhoek = (5/2) r 2sin(72º), waarbij r de straal is.
Tips
- De hier gegeven voorbeelden gebruiken afgeronde waarden om de berekening te vergemakkelijken. Als u de werkelijke polygoon meet met de gegeven zijdelengtes, krijgt u iets andere resultaten voor de andere lengtes en gebieden.
- Gebruik indien mogelijk de geometrische methode en de formulemethode en vergelijk de resultaten om er zeker van te zijn dat u het juiste antwoord hebt. U krijgt mogelijk een iets ander antwoord als u de formule in één keer invoert (omdat u niet afrondt wanneer u de berekening uitvoert), maar het antwoord zou vrijwel hetzelfde moeten zijn.
- Een onregelmatige vijfhoek, of een vijfhoek met ongelijke zijden, is moeilijker te leren. De beste aanpak is meestal om de vijfhoek in driehoeken te verdelen en de oppervlakte van elke driehoek bij elkaar op te tellen. Mogelijk moet u ook de grotere vorm rond de vijfhoek tekenen, de oppervlakte ervan berekenen en de oppervlakte van de buitenkant van de vijfhoek aftrekken.
- De formules zijn afgeleid van geometrische middelen, bijna dezelfde als hier beschreven. Let op of u kunt achterhalen hoe u de formules kunt krijgen. De straalformule is moeilijker af te leiden dan de andere formules (hint: je hebt een dubbele of dubbele hoekidentiteit nodig).
