Leren hoe algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen, is een van de sleutels tot het beheersen van de basisalgebra en het nuttigste hulpmiddel dat elke wiskundige moet hebben. Vereenvoudiging stelt wiskundigen in staat om complexe, lange en/of vreemde uitdrukkingen om te zetten in eenvoudigere of gemakkelijker gelijkwaardige uitdrukkingen. Basisvaardigheden voor vereenvoudiging zijn heel gemakkelijk te leren, zelfs voor mensen die een hekel hebben aan wiskunde. Door een paar eenvoudige stappen te volgen, is het mogelijk om veel van de meest gebruikte typen algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen, zonder speciale kennis van wiskunde. Bekijk stap 1 om aan de slag te gaan!
Stap
Belangrijke concepten begrijpen
Stap 1. Groepeer gelijkaardige termen volgens hun variabelen en bevoegdheden
In de algebra hebben gelijke termen dezelfde variabele configuratie, met dezelfde macht. Met andere woorden, om twee termen gelijk te laten zijn, moeten ze dezelfde variabele hebben, of helemaal geen variabele, en elke variabele heeft dezelfde macht, of geen exponent. De volgorde van de variabelen in termen is niet belangrijk.
Bijvoorbeeld 3x2 en 4x2 zijn gelijkaardige termen omdat ze allebei een variabele x hebben met de macht van het kwadraat. Echter, x en x2 zijn geen termen omdat elke term een variabele x heeft met een andere macht. Bijna hetzelfde, -3yx en 5xz zijn niet dezelfde termen omdat elke term een andere variabele heeft.
Stap 2. Factor door het getal te schrijven als het product van de twee factoren
Factoring is het concept van het opschrijven van een bepaald getal als het product van twee factoren die worden vermenigvuldigd. Getallen kunnen meer dan één reeks factoren hebben - 12 kan bijvoorbeeld worden verkregen uit 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4, dus we kunnen zeggen dat 1, 2, 3, 4, 6 en 12 factoren zijn van 12 Een andere manier om het voor te stellen is dat de factoren van een getal de getallen zijn die het getal in zijn geheel delen.
- Als we bijvoorbeeld 20 willen meerekenen, kunnen we het schrijven als 4 × 5.
- Merk op dat variabele termen ook kunnen worden ontbonden. -20x kan bijvoorbeeld worden geschreven als 4(5x).
- Priemgetallen kunnen niet worden ontbonden omdat ze alleen door zichzelf en door 1 kunnen worden gedeeld.
Stap 3. Gebruik het acroniem KaPaK BoTaK om de volgorde van bewerkingen te onthouden
Soms lost het vereenvoudigen van een uitdrukking de bewerking in de vergelijking op totdat deze niet langer werkbaar is. In deze gevallen is het erg belangrijk om de volgorde van bewerkingen te onthouden, zodat er geen rekenfouten optreden. Het acroniem KaPaK BoTaK helpt u de volgorde van bewerkingen te onthouden - de letters geven de soorten bewerkingen aan die u moet uitvoeren, in de volgorde:
- Kmislukking
- Ptillen
- Kali
- Bopnieuw
- ttoevoegen
- Kgarnaal
Methode 1 van 3: Like-termen samenvoegen
Stap 1. Schrijf je vergelijking op
De eenvoudigste algebraïsche vergelijkingen, die slechts een paar variabele termen bevatten met gehele coëfficiënten en geen breuken, wortels, enz., kunnen vaak in slechts een paar stappen worden opgelost. Voor de meeste wiskundige problemen is de eerste stap om uw vergelijking te vereenvoudigen, deze op te schrijven!
Als voorbeeldprobleem gebruiken we voor de volgende paar stappen de uitdrukking 1 + 2x - 3 + 4x.
Stap 2. Identificeer vergelijkbare stammen
Zoek vervolgens naar soortgelijke termen in uw vergelijking. Onthoud dat gelijke termen dezelfde variabele en exponent hebben.
Laten we bijvoorbeeld gelijke termen identificeren in onze vergelijking 1 + 2x – 3 + 4x. 2x en 4x hebben beide dezelfde variabele met dezelfde macht (in dit geval heeft x geen exponent). Ook zijn 1 en -3 gelijkaardige termen omdat ze geen variabelen hebben. Dus in onze vergelijking, 2x en 4x en 1 en -3 zijn vergelijkbare stammen.
Stap 3. Combineer gelijkaardige termen
Nu je gelijke termen hebt geïdentificeerd, kun je ze combineren om je vergelijking te vereenvoudigen. Tel de termen op (of trek ze af in het geval van negatieve termen) om de reeks termen met dezelfde variabele en exponent te reduceren tot één gelijke term.
-
Laten we soortgelijke termen in ons voorbeeld toevoegen.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Stap 4. Maak een eenvoudigere vergelijking op basis van de vereenvoudigde termen
Maak na het combineren van uw gelijkaardige termen een vergelijking van de nieuwe, kleinere reeks termen. U krijgt een eenvoudigere vergelijking, die één term heeft voor de verschillende sets variabelen en machten in de oorspronkelijke vergelijking. Deze nieuwe vergelijking is gelijk aan de oorspronkelijke vergelijking.
In ons voorbeeld zijn onze vereenvoudigde termen 6x en -2, dus onze nieuwe vergelijking is 6x - 2. Deze eenvoudige vergelijking is gelijk aan het origineel (1 + 2x - 3 + 4x), maar korter en gemakkelijker om mee te werken. Het is ook gemakkelijker te factoriseren, wat we hieronder zullen bekijken, wat een andere belangrijke vereenvoudigende vaardigheid is.
Stap 5. Volg de volgorde van bewerkingen bij het combineren van soortgelijke termen
In zeer eenvoudige vergelijkingen zoals die waaraan we in het voorbeeldprobleem hierboven hebben gewerkt, is het gemakkelijk om soortgelijke termen te identificeren. In complexere vergelijkingen, zoals uitdrukkingen met termen tussen haakjes, breuken en wortels, zijn soortgelijke termen die kunnen worden gecombineerd, echter mogelijk niet duidelijk zichtbaar. Volg in deze gevallen de volgorde van de bewerkingen en voer zo nodig bewerkingen uit op de termen in uw uitdrukking totdat de optel- en aftrekbewerkingen overblijven.
-
Laten we bijvoorbeeld de vergelijking 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x gebruiken. Het zou verkeerd zijn om 3x en 2x meteen als gelijke termen te beschouwen en ze te combineren omdat de haakjes in de uitdrukking aangeven dat we eerst andere bewerkingen moeten doen. Eerst voeren we rekenkundige bewerkingen uit op de uitdrukking in de volgorde van bewerkingen om termen te krijgen die we kunnen gebruiken. Zie het volgende:
- 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Nu, aangezien de enige overgebleven bewerkingen optellen en aftrekken zijn, kunnen we gelijke termen combineren.
- x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- x2 + 12x + 3
Methode 2 van 3: Factoring
Stap 1. Identificeer de grootste gemene deler in de uitdrukking
Factoring is een manier om een uitdrukking te vereenvoudigen door de factoren te verwijderen die in alle gelijke termen in de uitdrukking hetzelfde zijn. Zoek om te beginnen de grootste gemene deler die alle termen hebben, met andere woorden, het grootste getal dat alle termen in de uitdrukking geheel verdeelt.
-
Laten we de 9x.-vergelijking gebruiken2 + 27x - 3. Merk op dat elke term in deze vergelijking deelbaar is door 3. Aangezien de termen niet deelbaar zijn door een groter getal, kunnen we zeggen dat
Stap 3. is onze grootste gemeenschappelijke factor.
Stap 2. Deel de termen in de uitdrukking door de grootste gemene deler
Deel vervolgens elke term in uw vergelijking door de grootste gemene deler die u zojuist hebt gevonden. De quotiënttermen hebben een kleinere coëfficiënt dan de oorspronkelijke vergelijking.
-
Laten we onze vergelijking ontbinden met de grootste gemene deler, 3. Om dit te doen, delen we elke term door 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Onze nieuwe uitdrukking is dus 3x2 + 9x - 1.
Stap 3. Schrijf je uitdrukking op als het product van de grootste gemene deler vermenigvuldigd met de overige termen
Uw nieuwe uitdrukking is niet gelijk aan uw oorspronkelijke uitdrukking, dus het zou onjuist zijn om te zeggen dat de uitdrukking vereenvoudigd is. Om onze nieuwe uitdrukking gelijk te maken aan het origineel, moeten we rekening houden met het feit dat onze uitdrukking is gedeeld door de grootste gemene deler. Zet je nieuwe uitdrukking tussen haakjes en schrijf de grootste gemene deler van de oorspronkelijke vergelijking als de uitdrukkingscoëfficiënt tussen haakjes.
Voor onze voorbeeldvergelijking, 3x2 + 9x - 1, we kunnen de uitdrukking tussen haakjes plaatsen en deze vermenigvuldigen met de grootste gemene deler van de oorspronkelijke vergelijking om te krijgen 3(3x2 + 9x - 1). Deze vergelijking is gelijk aan de oorspronkelijke vergelijking, 9x2 +27x - 3.
Stap 4. Gebruik factoring om breuken te vereenvoudigen
U vraagt zich nu misschien af waarom factoring wordt gebruikt, als zelfs na het verwijderen van de grootste gemene deler, de nieuwe uitdrukking opnieuw met die factor moet worden vermenigvuldigd. Factoring stelt wiskundigen in staat om verschillende trucs uit te voeren om uitdrukkingen te vereenvoudigen. Een van zijn gemakkelijkste trucs maakt gebruik van het feit dat het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal equivalente breuken kan opleveren. Zie het volgende:
-
Zeg onze eerste voorbeelduitdrukking, 9x2 + 27x - 3, is de kwantor van de grotere breuk met 3 als teller. De breuk ziet er als volgt uit: (9x2 + 27x - 3)/3. We kunnen factoring gebruiken om breuken te vereenvoudigen.
- Laten we de factorvorm van onze oorspronkelijke uitdrukking vervangen door de uitdrukking in de teller: (3(3x2 + 9x - 1))/3
- Merk op dat nu zowel de teller als de noemer een coëfficiënt van 3 hebben. Als we de teller en de noemer door 3 delen, krijgen we: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Aangezien elke breuk met een noemer van 1 gelijk is aan de termen in de teller, kunnen we zeggen dat onze initiële breuk kan worden vereenvoudigd tot 3x2 + 9x - 1.
Methode 3 van 3: Extra vereenvoudigingsvaardigheden toepassen
Stap 1. Vereenvoudig breuken door te delen door dezelfde factoren
Zoals hierboven opgemerkt, als de teller en noemer van een vergelijking dezelfde factoren hebben, kunnen deze factoren volledig worden weggelaten in de breuk. Soms vereist het factoring in de teller, noemer of beide (zoals het geval is in het voorbeeldprobleem hierboven), terwijl soms dezelfde factoren vaak voor de hand liggen. Merk op dat het ook mogelijk is om de termen van de teller één voor één te delen door de vergelijking in de noemer om een eenvoudige uitdrukking te krijgen.
-
Laten we werken aan een voorbeeld dat geen factoring vereist. Voor breuken (5x2 + 10x + 20)/10, we kunnen elke term in de teller delen door 10 om te vereenvoudigen, zelfs als de coëfficiënt 5 in 5x is2 is niet groter dan 10 en dus is 10 geen factor.
Als we dat doen, krijgen we ((5x2)/10) + x + 2. Als we wilden, zouden we de eerste term kunnen herschrijven als (1/2)x2 dus we krijgen (1/2)x2 +x+2.
Stap 2. Gebruik de kwadraatfactoren om de wortels te vereenvoudigen
De uitdrukking onder het wortelteken wordt de worteluitdrukking genoemd. Deze uitdrukking kan worden vereenvoudigd door de kwadraatfactoren te identificeren (factoren die kwadraten van gehele getallen zijn) en de vierkantswortelbewerking afzonderlijk uit te voeren om ze onder het vierkantswortelteken te verwijderen.
-
Laten we een eenvoudig voorbeeld doen - (90). Als we 90 beschouwen als het product van zijn twee factoren, 9 en 10, kunnen we de vierkantswortel van 9 nemen, wat het gehele getal 3 is, en deze uit het wortelteken verwijderen. Met andere woorden:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Stap 3. Voeg exponenten toe bij het vermenigvuldigen van twee exponenten; aftrekken bij het delen
Sommige algebraïsche uitdrukkingen vereisen het vermenigvuldigen of delen van machtstermen. In plaats van elke exponent handmatig te berekenen of te delen, hoeft u alleen maar de exponenten op te tellen bij het vermenigvuldigen en aftrekken bij het delen om tijd te besparen. Dit concept kan ook worden gebruikt om variabele uitdrukkingen te vereenvoudigen.
-
Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking 6x. gebruiken3 × 8x4 + (x17/x15). In elk geval waar vermenigvuldiging of deling van exponenten vereist is, zullen we respectievelijk exponenten aftrekken of optellen om snel de eenvoudige term te vinden. Zie het volgende:
- 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
- (6 × 8)x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
-
Voor een uitleg over hoe het werkt, zie hieronder:
- Het vermenigvuldigen van termen in exponenten is eigenlijk hetzelfde als het vermenigvuldigen van termen, niet in lange exponenten. Bijvoorbeeld, omdat x3 = x × x × x en x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), of x8.
- Bijna hetzelfde, het delen van exponenten is als het delen van termen, geen lange exponenten. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Aangezien elke term in de teller kan worden doorgestreept door dezelfde term in de noemer te vinden, zijn er nog maar twee x'en in de teller en niets meer onderaan, waardoor het antwoord x wordt gegeven2.
Tips
- Onthoud altijd dat u zich deze getallen moet voorstellen als positieve en negatieve tekens. Veel mensen stoppen om na te denken over welk teken ik hier moet plaatsen?
- Vraag om hulp als je het nodig hebt!
- Het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen is niet eenvoudig, maar als je het eenmaal begrijpt, zul je het de rest van je leven gebruiken.
Waarschuwing
- Zoek altijd naar vergelijkbare stammen en laat je niet misleiden door rang.
- Zorg ervoor dat u geen getallen, bevoegdheden of bewerkingen toevoegt die niet per ongeluk zouden moeten zijn.
