De grootste gemene deler (PTS) van twee gehele getallen, ook wel de grootste gemene deler (GCF) genoemd, is het grootste gehele getal dat de deler (factor) van beide getallen is. Het grootste getal dat zowel 20 als 16 kan delen, is bijvoorbeeld 4. (Zowel 16 als 20 hebben grotere factoren, maar geen grotere gelijke factor - bijvoorbeeld 8 is een factor 16, maar geen factor 20.) In basisschool, leren de meeste mensen de gok-en-check-methode om GCF te vinden. Er is echter een eenvoudigere en meer systematische manier om dit te doen die altijd het juiste antwoord geeft. Deze methode wordt het algoritme van Euclides genoemd. Als je echt wilt weten hoe je de grootste gemene deler van twee gehele getallen kunt vinden, bekijk dan stap 1 om te beginnen.
Stap
Methode 1 van 2: Het deleralgoritme gebruiken
Stap 1. Elimineer alle negatieve tekens
Stap 2. Ken je woordenschat:
als je 32 deelt door 5,
-
- 32 is een getal dat gedeeld wordt door
- 5 is de deler van
- 6 is het quotiënt
- 2 is de rest (of modulo).
Stap 3. Identificeer het getal dat groter is dan de twee getallen
Het grotere getal is het getal dat wordt gedeeld en hoe kleiner de deler.
Stap 4. Schrijf dit algoritme op:
(gedeeld getal) = (deler) * (citaat) + (rest)
Stap 5. Zet het grotere getal op de plaats van het te delen getal, en het kleinere getal als deler
Stap 6. Bepaal wat het resultaat is van het delen van het grotere getal door het kleinere getal en voer het resultaat in als het quotiënt
Stap 7. Bereken de rest en voer deze in op de juiste plaats in het algoritme
Stap 8. Herschrijf het algoritme, maar deze keer A) gebruik de oude deler als deler en B) gebruik de rest als de deler
Stap 9. Herhaal de vorige stap totdat de rest nul is
Stap 10. De laatste deler is dezelfde grootste deler
Stap 11. Hier is een voorbeeld, waar we proberen de GCF van 108 en 30 te vinden:
Stap 12. Merk op hoe de 30 en 18 in de eerste rij van positie wisselen om de tweede rij te creëren
Vervolgens wisselen 18 en 12 van positie om de derde rij te creëren, en 12 en 6 wisselen van positie om de vierde rij te creëren. 3, 1, 1 en 2 na het vermenigvuldigingsteken verschijnen niet meer. Dit getal vertegenwoordigt het resultaat van het delen van het getal gedeeld door de deler, zodat elke rij anders is.
Methode 2 van 2: Prime-factoren gebruiken
Stap 1. Elimineer eventuele negatieve tekens
Stap 2. Zoek de priemfactorisatie van de getallen en schrijf de lijst zoals hieronder weergegeven
-
24 en 18 gebruiken als voorbeelden van getallen:
- 24- 2x2x2x3
- 18- 2x3x3
-
Met 50 en 35 als voorbeeldnummer:
- 50- 2x5x5
- 35- 5 x 7
Stap 3. Identificeer alle priemfactoren die gelijk zijn
-
24 en 18 gebruiken als voorbeelden van getallen:
-
24-
Stap 2. x 2 x 2
Stap 3.
-
18-
Stap 2
Stap 3. x 3
-
-
Met 50 en 35 als voorbeeldnummer:
-
50- 2x
Stap 5. x 5
-
35-
Stap 5. x 7
-
Stap 4. Vermenigvuldig de factoren met hetzelfde
-
Vermenigvuldig bij vraag 24 en 18
Stap 2. da
Stap 3. te krijgen
Stap 6.. Zes is de grootste gemene deler van 24 en 18.
-
In voorbeelden 50 en 35 kan geen van beide getallen worden vermenigvuldigd.
Stap 5. is de enige gemeenschappelijke factor, en als zodanig de grootste factor.
Stap 5. Klaar
Tips
- Een manier om dit te schrijven, met de notatie mod = rest, is GCF(a, b) = b, als a mod b = 0, en anders GCF(a, b) = GCF(b, a mod b).
- Zoek bijvoorbeeld de GCF (-77, 91). Eerst gebruiken we 77 in plaats van -77, dus GCF(-77, 91) wordt GCF(77, 91). Nu, 77 is minder dan 91, dus we zullen ze moeten verwisselen, maar laten we eens kijken hoe het algoritme die dingen omzeilt als we dat niet kunnen. Wanneer we 77 mod 91 berekenen, krijgen we 77 (omdat 77 = 91 x 0 + 77). Aangezien het resultaat niet nul is, wisselen we (a, b) naar (b, a mod b), en het resultaat is: GCF(77, 91) = GCF(91, 77). 91 mod 77 levert 14 op (onthoud dat 14 nutteloos is). Aangezien de rest niet nul is, converteert u GCF(91, 88) naar GCF(77, 14). 77 mod 14 geeft 7 terug, wat niet nul is, dus wissel GCF(77, 14) naar GCF (14, 7). 14 mod 7 is nul, dus 14 = 7 * 2 zonder rest, dus we stoppen. En dat betekent: GCF(-77, 91) = 7.
- Deze techniek is vooral handig bij het vereenvoudigen van breuken. Uit het bovenstaande voorbeeld vereenvoudigt de breuk -77/91 tot -11/13 omdat 7 de grootste gelijke deler is van -77 en 91.
- Als 'a' en 'b' nul zijn, verdeelt geen getal dat niet nul is ze, dus technisch gezien is geen enkele grootste deler hetzelfde in het probleem. Wiskundigen zeggen vaak gewoon dat de grootste gemene deler van 0 en 0 0 is, en dat is het antwoord dat ze zo krijgen.
