Derivaten kunnen worden gebruikt om bruikbare kenmerken uit een grafiek af te leiden, zoals maximum-, minimum-, piek-, dal- en hellingswaarden. Je kunt het zelfs gebruiken om complexe vergelijkingen te tekenen zonder grafische rekenmachine! Helaas is het werken aan derivaten vaak vervelend, maar dit artikel helpt je op weg met enkele tips en trucs.
Stap
Stap 1. Begrijp afgeleide notatie
De volgende twee notaties worden het meest gebruikt, hoewel vele andere hier op Wikipedia te vinden zijn.
- Leibniz-notatie Deze notatie is de meest gebruikte notatie wanneer de vergelijking betrekking heeft op y en x. dy/dx betekent letterlijk de afgeleide van y naar x. Het kan handig zijn om het te zien als y/Δx voor heel verschillende waarden van x en y. Deze uitleg leidt tot de definitie van de afgeleide limiet: limh->0 (f(x+h)-f(x))/uur. Als je deze notatie gebruikt voor de tweede afgeleide, moet je schrijven: d2y/dx2.
- Lagrangenotatie De afgeleide van de functie f wordt ook geschreven als f'(x). Deze notatie leest f geaccentueerd x. Deze notatie is korter dan de notatie van Leibniz en is handig bij het bekijken van afgeleiden als functies. Om een grotere afgeleide te vormen, voegt u ' gewoon toe aan f, zodat de tweede afgeleide f''(x) wordt.
Stap 2. Begrijp de betekenis van de afgeleide en de redenen voor de afdaling
Ten eerste, om de helling van een lineaire grafiek te vinden, worden twee punten op de lijn genomen en hun coördinaten worden ingevoerd in de vergelijking (y2 - ja1)/(x2 - x1). Het kan echter alleen worden gebruikt voor lineaire grafieken. Voor kwadratische vergelijkingen en hoger zal de lijn een kromme zijn, dus het vinden van het verschil tussen twee punten is niet erg nauwkeurig. Om de helling van de raaklijn in een krommegrafiek te vinden, worden twee punten genomen en in de algemene vergelijking geplaatst om de helling van de krommegrafiek te vinden: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx geeft delta x aan, wat het verschil is tussen twee x-coördinaten op twee punten van de grafiek. Merk op dat deze vergelijking hetzelfde is als (y2 - ja1)/(x2 - x1), alleen in een andere vorm. Omdat bekend was dat de resultaten onnauwkeurig zouden zijn, werd een indirecte benadering toegepast. Om de helling van de raaklijn aan (x, f(x)) te vinden, moet dx dicht bij 0 liggen, zodat de twee getekende punten samensmelten tot één punt. U kunt 0 echter niet delen, dus als u de tweepuntswaarden eenmaal hebt ingevoerd, moet u factoring en andere methoden gebruiken om dx onderaan de vergelijking te verwijderen. Als je dat hebt gedaan, maak je dx 0 en ben je klaar. Dit is de helling van de raaklijn aan (x, f(x)). De afgeleide van een vergelijking is de algemene vergelijking voor het vinden van de helling van een raaklijn in een grafiek. Dit lijkt misschien erg ingewikkeld, maar er zijn enkele voorbeelden hieronder, die zullen helpen uitleggen hoe je de afgeleide kunt krijgen.
Methode 1 van 4: Expliciete derivaten
Stap 1. Gebruik een expliciete afgeleide als je vergelijking al y aan één kant heeft
Stap 2. Vul de vergelijking in de vergelijking [f(x + dx) - f(x)]/dx in
Als de vergelijking bijvoorbeeld y = x. is2, de afgeleide is [(x + dx)2 - x2]/dx.
Stap 3. Vouw dx uit en verwijder het om de vergelijking [dx(2x + dx)]/dx te vormen
Nu kun je twee dx aan de boven- en onderkant casten. Het resultaat is 2x + dx, en als dx nul nadert, is de afgeleide 2x. Dit betekent dat de helling van elke raaklijn van de grafiek y = x2 is 2x. Voer gewoon de x-waarde in voor het punt waarvan u de helling wilt vinden.
Stap 4. Leer patronen voor het afleiden van vergelijkbare vergelijkingen
Hier zijn enkele voorbeelden.
- Elke exponent is de macht maal de waarde, verheven tot de macht kleiner dan 1. Bijvoorbeeld de afgeleide van x5 is 5x4, en de afgeleide van x3, 5 iis3, 5x2, 5. Als er al een getal voor x staat, vermenigvuldig het dan gewoon met de macht. Bijvoorbeeld de afgeleide van 3x4 is 12x3.
- De afgeleide van elke constante is nul. Dus de afgeleide van 8 is 0.
- De afgeleide van de som is de som van de respectievelijke afgeleiden. Bijvoorbeeld de afgeleide van x3 + 3x2 is 3x2 + 6x.
- De afgeleide van het product is de eerste factor maal de afgeleide van de tweede factor plus de tweede factor maal de afgeleide van de eerste factor. Bijvoorbeeld de afgeleide van x3(2x + 1) is x3(2) + (2x + 1)3x2, wat gelijk is aan 8x3 + 3x2.
- De afgeleide van het quotiënt (zeg f/g) is [g(afgeleide van f) - f(afgeleide van g)]/g2. Bijvoorbeeld, de afgeleide van (x2 + 2x - 21)/(x - 3) is (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Methode 2 van 4: Impliciete derivaten
Stap 1. Gebruik impliciete afgeleiden als je vergelijking niet al met y aan één kant geschreven kan worden
Als je y aan één kant zou schrijven, zou het berekenen van dy/dx zelfs vervelend zijn. Hier is een voorbeeld van hoe u dit type vergelijking kunt oplossen.
Stap 2. In dit voorbeeld, x2y + 2y3 = 3x + 2y, vervang y door f(x), zodat je onthoudt dat y eigenlijk een functie is.
De vergelijking wordt dan x2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x).
Stap 3. Om de afgeleide van deze vergelijking te vinden, leidt u beide zijden van de vergelijking af met betrekking tot x
De vergelijking wordt dan x2f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f'(x) = 3 + 2f'(x).
Stap 4. Vervang f(x) weer door y
Pas op dat u f'(x) niet vervangt, wat anders is dan f(x).
Stap 5. Zoek f'(x)
Het antwoord voor dit voorbeeld wordt (3 - 2xy)/(x2 + 6 jaar2 - 2).
Methode 3 van 4: Derivaten van hogere orde
Stap 1. Het afleiden van een functie van hogere orde betekent dat je de afgeleide afleidt (naar orde 2)
Als het probleem u bijvoorbeeld vraagt om de derde orde af te leiden, neem dan gewoon de afgeleide van de afgeleide van de afgeleide. Voor sommige vergelijkingen is de afgeleide van hogere orde 0.
Methode 4 van 4: Kettingregel
Stap 1. Als y een differentiaalfunctie van z is, en z een differentiaalfunctie van x, is y een samengestelde functie van x, en is de afgeleide van y naar x (dy/dx) (dy/du)* (du/dx)
De kettingregel kan ook een combinatie zijn van machtsvergelijkingen, zoals deze: (2x4 - x)3. Om de afgeleide te vinden, beschouw het gewoon als de vermenigvuldigingsregel. Vermenigvuldig de vergelijking met de macht en verminder met 1 tot de macht. Vermenigvuldig vervolgens de vergelijking met de afgeleide van de vergelijking tussen haakjes die de macht verhoogt (in dit geval 2x^4 - x). Het antwoord op deze vraag is 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Tips
- Maak je geen zorgen als je een moeilijk op te lossen probleem ziet. Probeer het gewoon op te splitsen in zoveel mogelijk kleinere delen door de regels van vermenigvuldiging, quotiënt, enz. toe te passen. Laat vervolgens elk onderdeel zakken.
- Oefen met de vermenigvuldigingsregel, de quotiëntregel, de kettingregel en vooral impliciete afgeleiden, omdat deze regels veel moeilijker zijn in de calculus.
- Begrijp je rekenmachine goed; probeer de verschillende functies in uw rekenmachine om te leren hoe u ze kunt gebruiken. Het is erg handig om te weten hoe u raaklijnen en afgeleide functies in uw rekenmachine kunt gebruiken als deze beschikbaar zijn.
- Onthoud de basis trigonometrische afgeleiden en hoe ze te gebruiken.
