Het invullen van vierkanten is een handige techniek om kwadratische vergelijkingen in een nette vorm te zetten, waardoor ze gemakkelijk te zien of zelfs op te lossen zijn. U kunt vierkanten voltooien om complexere kwadratische formules te bouwen of zelfs kwadratische vergelijkingen op te lossen. Als u wilt weten hoe u dit moet doen, volgt u deze stappen.
Stap
Deel 1 van 2: Gewone vergelijkingen converteren naar kwadratische functies
Stap 1. Schrijf de vergelijking op
Stel dat je de volgende vergelijking wilt oplossen: 3x2 - 4x + 5.
Stap 2. Haal de coëfficiënten van de kwadratische variabelen uit de eerste twee delen
Om het cijfer 3 uit de eerste twee delen te halen, haalt u het cijfer 3 eruit en plaatst u het buiten de haakjes, waarbij u elk deel door 3 deelt. 3x2 gedeeld door 3 is x2 en 4x gedeeld door 3 is 4/3x. De nieuwe vergelijking wordt dus: 3(x2 - 4/3x) + 5. Het getal 5 blijft buiten de vergelijking omdat het niet wordt gedeeld door het getal 3.
Stap 3. Deel het tweede deel door 2 en vierkant
Het tweede deel of wat bekend staat als b in de vergelijking is 4/3. Deel door twee. 4/3 2, of 4/3 x 1/2, is gelijk aan 2/3. Maak nu het kwadraat van deze sectie door de teller en noemer van de breuk te kwadrateren. (2/3)2 = 4/9. Schrijf het op.
Stap 4. Tel deze delen op en trek ze af van de vergelijking
Je hebt dit extra deel nodig om de vergelijking terug te brengen naar een perfect vierkant. U moet ze echter van de rest van de vergelijking aftrekken om ze op te tellen. Hoewel, het lijkt erop dat je teruggaat naar je oorspronkelijke vergelijking. Je vergelijking ziet er als volgt uit: 3(x2 - 4/3x + 4/9 - 4/9) + 5.
Stap 5. Verwijder het deel dat u van de haakjes hebt afgetrokken
Aangezien u een coëfficiënt van 3 buiten de haakjes hebt, kunt u niet zomaar -4/9 uitvoeren. Je moet het eerst met 3 vermenigvuldigen. -4/9 x 3 = -12/9, of -4/3. Als u een coëfficiënt van 1 heeft in de sectie x.2, dan kunt u deze stap overslaan.
Stap 6. Verander het deel tussen de haakjes in een perfect vierkant
Nu zijn er 3 (x2 -4/3x +4/9) tussen haakjes. Je hebt al geprobeerd om 4/9 te krijgen, wat eigenlijk een andere manier is om het vierkant te voltooien. Je kunt het dus herschrijven als: 3(x - 2/3)2. Het enige wat je hoeft te doen is de tweede helft te verdelen en de derde te elimineren. Je kunt je werk controleren door het te vermenigvuldigen en de eerste drie delen van de vergelijking te bedenken.
-
3(x - 2/3)2 =
Voltooi de vierkante stap 6Bullet1 - 3(x - 2/3)(x -2/3) =
- 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x2 - 4/3x + 4/9)
Stap 7. Combineer de constanten
Nu zijn er twee constanten of getallen die geen variabelen hebben. Nu heb je 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Het enige wat je hoeft te doen is -4/3 en 5 optellen om 11/3 te krijgen. Je voegt ze toe door de noemers gelijk te stellen: -4/3 en 15/3, en dan de getallen op te tellen zodat je 11 krijgt en de noemer 3 laat staan.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Voltooi de vierkante stap 7Bullet1
Stap 8. Schrijf de vergelijking in kwadratische vorm
Jij hebt gedaan. De laatste vergelijking is 3(x - 2/3)2 +11/3. U kunt de coëfficiënt van 3 elimineren door beide zijden van de vergelijking te delen om (x - 2/3) te krijgen2 +11/9. Je hebt de vergelijking met succes in kwadratische vorm geschreven, namelijk een(x-h)2 +k, waarbij k staat voor een constante.
Deel 2 van 2: Kwadratische vergelijkingen oplossen
Stap 1. Schrijf de vragen op
Stel dat je de volgende vergelijking wilt oplossen: 3x2 + 4x + 5 = 6
Stap 2. Combineer de bestaande constanten en plaats ze aan de linkerkant van de vergelijking
Een constante is elk getal dat geen variabele heeft. In dit probleem is de constante 5 aan de linkerkant en 6 aan de rechterkant. Als je 6 naar links wilt verplaatsen, moet je beide zijden van de vergelijking met 6 aftrekken. De rest is 0 aan de rechterkant (6-6) en -1 aan de linkerkant (5-6). De vergelijking wordt: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Stap 3. Voer de coëfficiënt van de kwadratische variabele uit
In dit probleem is 3 de coëfficiënt van x2. Om het getal 3 te krijgen, haal je het getal 3 eruit en deel je elk deel door 3. Dus, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x en 1 3 = 1/3. De vergelijking wordt: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Stap 4. Deel door de constante die u zojuist hebt geëxtraheerd
Dit betekent dat je de coëfficiënt 3 kunt verwijderen. Aangezien je elk deel al door 3 hebt gedeeld, kun je het getal 3 verwijderen zonder de vergelijking te beïnvloeden. Je vergelijking wordt x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Stap 5. Deel het tweede deel door 2 en vierkant
Neem vervolgens het tweede deel, 4/3, of deel b, en deel het door 2. 4/3 2 of 4/3 x 1/2, is gelijk aan 4/6 of 2/3. En 2/3 kwadraat tot 4/9. Als je het gekwadrateerd hebt, moet je het aan de linker- en rechterkant van de vergelijking schrijven omdat je een nieuw deel toevoegt. Je moet het aan beide kanten schrijven om het in evenwicht te brengen. De vergelijking wordt x2 + 4/3x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Stap 6. Verplaats de beginconstante naar de rechterkant van de vergelijking en voeg deze toe aan het kwadraat van je getal
Verplaats de initiële constante, -1/3, naar rechts, waardoor het 1/3 wordt. Voeg het kwadraat van je nummer toe, 4/9 of 2/32. Zoek een gemeenschappelijke noemer om 1/3 en 4/9 op te tellen door de bovenste en onderste breuken van 1/3 met 3 te vermenigvuldigen. 1/3 x 3/3 = 3/9. Voeg nu 3/9 en 4/9 toe om 7/9 aan de rechterkant van de vergelijking te krijgen. De vergelijking wordt: x2 + 4/3x + 2/32 = 4/9 + 1/3 dan x2 + 4/3x + 2/32 = 7/9.
Stap 7. Schrijf de linkerkant van de vergelijking op als een perfect vierkant
Omdat je de formule al hebt gebruikt om het ontbrekende stuk te vinden, is het harde deel overgeslagen. Het enige wat u hoeft te doen is x en de helft van de waarde van de tweede coëfficiënt tussen haakjes plaatsen en deze kwadrateren, bijvoorbeeld: (x + 2/3)2. Merk op dat het ontbinden van een perfect vierkant drie delen oplevert: x2 + 4/3x + 4/9. De vergelijking wordt: (x + 2/3)2 = 7/9.
Stap 8. Vierkantswortel van beide kanten
Aan de linkerkant van de vergelijking, de vierkantswortel van (x + 2/3)2 is x + 2/3. Aan de rechterkant van de vergelijking krijgt u +/- (√7)/3. De vierkantswortel van de noemer, 9, is 3, en de vierkantswortel van 7 is 7. Vergeet niet om +/- te schrijven omdat de vierkantswortel positief of negatief kan zijn.
Stap 9. Verplaats de variabelen
Om de variabele x te verplaatsen, verplaatst u de constante 2/3 naar de rechterkant van de vergelijking. Nu heb je twee mogelijke antwoorden voor x: +/- (√7)/3 - 2/3. Dit zijn uw twee antwoorden. Je kunt het met rust laten of de waarde van de vierkantswortel van 7 vinden als je een antwoord zonder vierkantswortel moet schrijven.
Tips
- Zorg ervoor dat je +/- op de juiste plaats schrijft, anders krijg je maar één antwoord.
- Zelfs nadat je de kwadratische formule kent, oefen je het invullen van het vierkant regelmatig door de kwadratische formule te bewijzen of een aantal problemen op te lossen. Zo vergeet je de methode niet wanneer je hem nodig hebt.
