Handmatig vierkantswortels berekenen (met afbeeldingen)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-15 08:20

In de dagen voordat rekenmachines werden uitgevonden, moesten studenten en professoren vierkantswortels handmatig berekenen. Er zijn verschillende manieren ontwikkeld om dit moeilijke proces te overwinnen. Sommige manieren geven een ruwe schatting en andere geven een exacte waarde. Zie stap 1 hieronder om te beginnen om te leren hoe u de vierkantswortel van een getal kunt vinden met behulp van eenvoudige bewerkingen.

Stap

Methode 1 van 2: Prime Factorization gebruiken

Stap 1. Verdeel je getal in perfecte kwadraten

Deze methode gebruikt de factoren van een getal om de vierkantswortel van het getal te vinden (afhankelijk van het getal kan het antwoord een exact getal zijn of een goede benadering). De factoren van een getal zijn een reeks andere getallen die, wanneer vermenigvuldigd, dat getal produceren. Je zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat de factoren van 8 2 en 4 zijn omdat 2 × 4 = 8. Ondertussen zijn perfecte vierkanten gehele getallen die het product zijn van andere gehele getallen. 25, 36 en 49 zijn bijvoorbeeld perfecte vierkanten omdat ze respectievelijk 5 zijn.², 6², en 7². Zoals je misschien al geraden had, zijn perfecte kwadraten factoren die ook perfecte kwadraten zijn. Om te beginnen met het vinden van de vierkantswortel door ontbinden in priemfactoren, moet u eerst proberen uw getal te vereenvoudigen tot de perfecte kwadraatfactoren.

• Laten we een voorbeeld gebruiken. We willen de vierkantswortel van 400 handmatig vinden. Om te beginnen delen we het getal op in zijn perfecte kwadraatfactoren. Aangezien 400 een veelvoud van 100 is, weten we dat 400 deelbaar is door 25 - een perfect vierkant. Met een snelle verdeling van de schaduwen vinden we dat 400 gedeeld door 25 gelijk is aan 16. Toevallig is 16 ook een perfect vierkant. Dus de perfecte kwadraatfactoren van 400 zijn 25 en 16 want 25 × 16 = 400.
• We kunnen het schrijven als: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)

Stap 2. Zoek de vierkantswortel van uw perfecte kwadratenfactoren

De vermenigvuldigingseigenschap van de vierkantswortel stelt dat voor elk getal a en b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). Vanwege deze eigenschap kunnen we nu de vierkantswortel van onze perfecte kwadraatfactoren vinden en deze vermenigvuldigen om ons antwoord te krijgen.

• In ons voorbeeld vinden we de vierkantswortels van 25 en 16. Zie hieronder:

  • Wortel(25 × 16)
  • Wortel(25) × Wortel(16)

  • 5 × 4 =

    Stap 20.

Stap 3. Als uw getal niet perfect kan worden ontbonden, vereenvoudig dan uw antwoord tot de eenvoudigste vorm

In het echte leven zijn de getallen waarvan je de vierkantswortel moet vinden vaak geen prettige gehele getallen met voor de hand liggende perfecte kwadraatfactoren zoals 400. In deze gevallen is het mogelijk dat we het juiste antwoord niet als geheel getal kunnen vinden. Door echter zoveel perfecte kwadraten te vinden als je kunt vinden, kun je het antwoord vinden in de vorm van een vierkantswortel die kleiner, eenvoudiger en gemakkelijker te berekenen is. Om dit te doen, reduceert u uw getal tot een combinatie van perfect kwadraatfactoren en imperfecte kwadraten en vereenvoudigt u vervolgens.

• Laten we als voorbeeld de vierkantswortel van 147 gebruiken. 147 is geen product van twee perfecte vierkanten, dus we kunnen niet de exacte integerwaarde krijgen zoals hierboven. 147 is echter het product van een perfect vierkant en een ander getal - 49 en 3. We kunnen deze informatie gebruiken om ons antwoord in zijn eenvoudigste vorm als volgt te schrijven:

  • Wortel(147)
  • = Wortel (49 × 3)
  • = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  • = 7 × Wortel(3)

Stap 4. Maak zo nodig een schatting

Met je vierkantswortel in zijn eenvoudigste vorm, is het meestal vrij eenvoudig om een ruwe schatting van het antwoord op het getal te krijgen door de waarde van de resterende vierkantswortel te raden en deze te vermenigvuldigen. Een manier om uw gok te begeleiden, is door te zoeken naar perfecte vierkanten die groter en kleiner zijn dan het getal in uw vierkantswortel. Je zult zien dat de decimale waarde van het getal in je vierkantswortel tussen de twee getallen ligt, dus je kunt de waarde tussen de twee getallen raden.

• Laten we terugkeren naar ons voorbeeld. omdat 2² = 4 en 1² = 1, we weten dat Wortel (3) tussen 1 en 2 ligt – waarschijnlijk dichter bij 2 dan 1. We schatten 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Als we ons antwoord op de rekenmachine controleren, kunnen we zien dat ons antwoord vrij dicht bij het echte antwoord ligt, namelijk: 12, 13.

  Dit geldt ook voor grotere aantallen. Root(35) kan bijvoorbeeld worden benaderd tussen 5 en 6 (mogelijk dichter bij 6). 5² = 25 en 6² = 36. 35 is tussen 25 en 36, dus de vierkantswortel moet tussen 5 en 6 liggen. Aangezien 35 slechts één minder dan 36 is, kunnen we met vertrouwen zeggen dat de vierkantswortel iets kleiner is dan 6. Als u dit met een rekenmachine controleert, geef ons het antwoord is ongeveer 5, 92 - we hebben gelijk.

Stap 5. U kunt ook als eerste stap uw aantal terugbrengen tot de minst voorkomende factoren

Het vinden van de factoren van perfecte kwadraten is niet nodig als je gemakkelijk de priemfactoren van een getal kunt bepalen (factoren die ook priemgetallen zijn). Schrijf uw nummer in termen van de minst voorkomende factoren. Zoek vervolgens de paren van priemgetallen die overeenkomen met uw factoren. Als je twee priemfactoren vindt die hetzelfde zijn, verwijder dan deze twee getallen uit de vierkantswortel en plaats een van deze getallen buiten de vierkantswortel.

• Zoek bijvoorbeeld de vierkantswortel van 45 met deze methode. We weten dat 45 × 5 en we weten dat onder 9 = 3 × 3. We kunnen onze vierkantswortel dus schrijven in termen van de volgende factoren: Sqrt(3 × 3 × 5). Verwijder gewoon beide 3s en plaats een 3 buiten de vierkantswortel om uw vierkantswortel te vereenvoudigen tot zijn eenvoudigste vorm: (3) Wortel (5).

  Vanaf hier zijn we gemakkelijk in te schatten.

• Laten we als laatste voorbeeldprobleem proberen de vierkantswortel van 88 te vinden:

  • Wortel(88)
  • = Wortel (2 × 44)
  • = Wortel (2 × 4 × 11)
  • = Wortel (2 × 2 × 2 × 11). We hebben ongeveer 2 in onze vierkantswortel. Aangezien 2 een priemgetal is, kunnen we een paar 2s verwijderen en een ervan buiten de vierkantswortel plaatsen.

  • = Onze vierkantswortel in zijn eenvoudigste vorm is (2) Sqrt (2 × 11) of (2) Wortel (2) Wortel (11).

    Vanaf hier kunnen we Sqrt(2) en Sqrt(11) schatten en het geschatte antwoord vinden zoals we willen.

Methode 2 van 2: De vierkantswortel handmatig vinden

Het Long Division-algoritme gebruiken

Stap 1. Scheid de cijfers van uw nummer in paren

Deze methode gebruikt een proces dat vergelijkbaar is met staartdeling om de exacte vierkantswortel cijfer voor cijfer te vinden. Hoewel het niet verplicht is, vindt u het misschien gemakkelijker om dit proces uit te voeren als u uw werkplek en uw nummers visueel indeelt in gemakkelijk te bewerken onderdelen. Teken eerst een verticale lijn die uw werkgebied in twee delen verdeelt en teken vervolgens een kortere horizontale lijn in de buurt van de rechterbovenhoek om het rechtergedeelte te verdelen in een kleiner bovenste gedeelte en een groter onderste gedeelte. Scheid vervolgens uw cijfers in paren, beginnend bij de komma. Als u deze regel volgt, wordt 79.520.789.182, 47897 bijvoorbeeld "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Schrijf je nummer links bovenaan.

Laten we bijvoorbeeld proberen de vierkantswortel van 780, 14 te berekenen. Trek twee lijnen om je werkplek te verdelen zoals hierboven en schrijf "7 80. 14" linksboven. Het maakt niet uit of het meest linkse getal een enkel getal is en niet een paar getallen. Rechtsboven schrijf je je antwoord (vierkantswortel 780, 14)

Stap 2. Zoek het grootste gehele getal waarvan de kwadratische waarde kleiner is dan of gelijk is aan het getal (of een paar getallen) helemaal links

Begin helemaal links van je nummer, zowel nummerparen als enkele nummers. Zoek het grootste perfecte vierkant dat kleiner is dan of gelijk is aan dit getal en zoek vervolgens de vierkantswortel van dit perfecte vierkant. Dit nummer is n. Schrijf n rechtsboven en schrijf het kwadraat van n in het kwadrant rechtsonder.

In ons voorbeeld is uiterst links het getal 7. Omdat we weten dat 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, we kunnen zeggen dat n = 2 omdat 2 het grootste gehele getal is waarvan de kwadraatwaarde kleiner is dan of gelijk is aan 7. Schrijf 2 in het kwadrant rechtsboven. Dit is het eerste cijfer van ons antwoord. Schrijf 4 (kwadraatwaarde van 2) in het kwadrant rechtsonder. Dit nummer is belangrijk voor de volgende stap.

Stap 3. Trek het getal dat je zojuist hebt berekend af van het meest linkse paar

Net als bij staartdeling, is de volgende stap het aftrekken van de waarde van het vierkant dat we zojuist hebben gevonden van het gedeelte dat we zojuist hebben geanalyseerd. Schrijf dit getal onder het eerste deel en trek het af, schrijf je antwoord eronder.

• In ons voorbeeld schrijven we 4 onder 7 en trekken we het af. Deze aftrekking levert een antwoord op

  Stap 3..

Stap 4. Laat het volgende paar vallen

Verplaats het volgende gedeelte van het getal waarvoor u de vierkantswortel zoekt, naast de aftrekwaarde die u zojuist hebt gevonden. Vermenigvuldig vervolgens het getal in het kwadrant rechtsboven met twee en schrijf het antwoord in het kwadrant rechtsonder. Laat naast het getal dat je zojuist hebt opgeschreven een spatie vrij voor het vermenigvuldigingsprobleem dat je in de volgende stap gaat doen door '"_×_="' te schrijven.

In ons voorbeeld is het volgende paar van onze getallen "80". Schrijf "80" naast 3 in het linker kwadrant. Vermenigvuldig vervolgens het getal rechtsboven met twee. Dit getal is 2, dus 2 × 2 = 4. Schrijf "'4"' in het kwadrant rechtsonder, gevolgd door _×_=.

Stap 5. Vul de lege plekken in het rechter kwadrant in

Je moet alle lege plekken die je zojuist in het rechter kwadrant hebt geschreven met hetzelfde hele getal invullen. Dit gehele getal moet het grootste gehele getal zijn waardoor het product in het rechterkwadrant kleiner is dan of gelijk is aan het getal dat momenteel aan de linkerkant staat.

In ons voorbeeld vullen we de lege plekken in met 8, wat resulteert in 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Deze waarde is groter dan 384. Dus 8 is te groot, maar 7 zou kunnen werken. Schrijf 7 op de lege plekken en los op: 4(7) × 7 = 329. 7 is een correct getal omdat 329 kleiner is dan 380. Schrijf 7 in het kwadrant rechtsboven. Dit is het tweede cijfer in de vierkantswortel van 780, 14

Stap 6. Trek het getal dat je zojuist hebt berekend af van het getal dat nu links staat

Ga verder met de aftrekketen met behulp van de staartdelingsmethode. Neem het product van het probleem in het rechter kwadrant en trek het af van het getal dat nu aan de linkerkant staat, terwijl je je antwoorden hieronder schrijft.

In ons voorbeeld zullen we 329 aftrekken van 380, wat het resultaat geeft 51.

Stap 7. Herhaal stap 4

Leid het volgende deel van het getal af waarvoor je de vierkantswortel zoekt. Wanneer u de komma in uw getal bereikt, schrijft u de komma in uw antwoord in het kwadrant rechtsboven. Vermenigvuldig vervolgens het getal rechtsboven met 2 en schrijf het naast het blanco vermenigvuldigingsprobleem ("_ × _") zoals hierboven.

In ons voorbeeld, aangezien we nu te maken hebben met de komma in 780, 14, schrijf de komma achter ons huidige antwoord in de rechterbovenhoek. Laat vervolgens het volgende paar (14) in het linker kwadrant zakken. Tweemaal het getal rechtsboven (27) is gelijk aan 54, dus schrijf "54 _×_=" in het kwadrant rechtsonder

Stap 8. Herhaal stap 5 en 6

Zoek het grootste cijfer om de lege plekken aan de rechterkant in te vullen, wat een antwoord geeft dat kleiner is dan of gelijk is aan het nummer dat momenteel aan de linkerkant staat. Los dan het probleem op.

In ons voorbeeld is 549 × 9 = 4941, wat kleiner is dan of gelijk is aan het getal aan de linkerkant (5114). 549 × 10 = 5490 is te groot, dus 9 is je antwoord. Schrijf 9 als het volgende cijfer in het kwadrant rechtsboven en trek het product af van het getal aan de linkerkant: 5114 minus 4941 is gelijk aan 173

Stap 9. Om door te gaan met het tellen van de cijfers, verlaagt u het paar nullen aan de linkerkant en herhaalt u stap 4, 5 en 6

Ga voor meer nauwkeurigheid door met dit proces om de honderden, duizenden en meer plaatsen in uw antwoord te vinden. Blijf deze cyclus gebruiken totdat u de gewenste decimale plaats vindt.

Het proces begrijpen

Stap 1. Stel je het getal voor waarvan je de vierkantswortel hebt berekend als de oppervlakte S van een vierkant

Aangezien de oppervlakte van een vierkant P. is² waarbij P de lengte is van een van de zijden, en door te proberen de vierkantswortel van uw getal te vinden, probeert u in feite de lengte P van die zijde van het vierkant te berekenen.

Stap 2. Bepaal de lettervariabelen voor elk cijfer van je antwoord

Stel de variabele A in als het eerste cijfer van P (de vierkantswortel die we proberen te berekenen). B is het tweede cijfer, C het derde cijfer, enzovoort.

Stap 3. Bepaal de lettervariabelen voor elk deel van je startnummer

Variabele S. instellen_een voor het eerste paar cijfers in S (uw beginwaarde), S_B voor het tweede paar cijfers, enz.

Stap 4. Begrijp de relatie tussen deze methode en staartdeling

Deze methode om de vierkantswortel te vinden, is in feite een staartdelingsprobleem dat uw eerste getal deelt door de vierkantswortel, waardoor u de vierkantswortel van het antwoord krijgt. Net als bij het staartdelingsprobleem, ben je alleen geïnteresseerd in het volgende cijfer in elke stap. Op deze manier bent u alleen geïnteresseerd in de volgende twee cijfers in elke stap (dat is het volgende cijfer in elke stap voor de vierkantswortel).

Stap 5. Zoek het grootste getal waarvan de kwadraatwaarde kleiner is dan of gelijk is aan S_een.

Het eerste cijfer van A in ons antwoord is het grootste gehele getal waarvan de kwadratische waarde niet groter is dan S_een (dwz A zodat A² Sa < (A+1)²). In ons voorbeeld, S_een = 7, en 2² 7 < 3², dus A = 2.

Merk op dat als u bijvoorbeeld 88962 door 7 wilt delen met behulp van staartdeling, de eerste stappen vrijwel hetzelfde zijn: u ziet het eerste cijfer van 88962 (dat is 8) en u zoekt naar het grootste cijfer die, wanneer vermenigvuldigd met 7, kleiner is dan of gelijk is aan 8 In principe zoek je d zodat 7×d 8 < 7×(d+1). In dit geval is d gelijk aan 1

Stap 6. Stel je de waarde voor van het vierkant waarvan je op het punt staat te gaan werken

Je antwoord, de vierkantswortel van je startnummer, is P, die de lengte beschrijft van het vierkant met oppervlakte S (je startnummer). Je cijfers voor A, B, C vertegenwoordigen de cijfers in de waarde van P. Een andere manier om dit te zeggen is 10A + B = P (voor een tweecijferig antwoord), 100A + 10B + C = P (voor een drie- cijfer antwoord), enz.

In ons voorbeeld, (10A+B)² = P² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Onthoud dat 10A+B ons antwoord, P, voorstelt, met B in de enen-positie en A in de tientallen-positie. Bijvoorbeeld, met A=1 en B=2 is 10A+B gelijk aan 12. (10A+B)² is de totale oppervlakte van het vierkant, terwijl 100A² is de oppervlakte van het grootste vierkant daarin, B² is de oppervlakte van het kleinste vierkant erin, en 10A×B is de oppervlakte van de twee resterende rechthoeken. Door dit lange en ingewikkelde proces te doen, vinden we de totale oppervlakte van een vierkant door de oppervlakten van de vierkanten en rechthoeken binnenin bij elkaar op te tellen.

Stap 7. Trek A² af van S_een.

Verlaag één paar cijfers (S_B) van S. Waarde van S_een S_B dicht bij de totale oppervlakte van het vierkant, die je zojuist hebt gebruikt om het grotere binnenvierkant af te trekken. De rest kan worden gezien als het getal N1, dat we in stap 4 hebben gekregen (N1 = 380 in ons voorbeeld). N1 is gelijk aan 2&times:10A×B + B² (oppervlakte van de twee rechthoeken plus het oppervlak van het kleinere vierkant).

Stap 8. Zoek N1 = 2×10A×B + B², ook wel geschreven als N1 = (2×10A + B) × B

In ons voorbeeld ken je N1 (380) en A(2) al, dus je moet B vinden. B is hoogstwaarschijnlijk geen geheel getal, dus je moet echt het grootste gehele getal B vinden zodat (2×10A + B) × BN1. Je hebt dus: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

Stap 9. Voltooi

Om deze vergelijking op te lossen, vermenigvuldigt u A met 2, verschuift u het resultaat naar de tientallen (het equivalent van vermenigvuldigen met 10), plaatst u B in de positie en vermenigvuldigt u het getal met B. Met andere woorden, los op (2×10A + B) × B. Dit is precies wat je doet als je "N_×_=" (met N=2×A) schrijft in het kwadrant rechtsonder in stap 4. In stap 5 vind je het grootste gehele getal B dat overeenkomt met het getal eronder zodat (2× 10A + B) × B N1.

Stap 10. Trek de oppervlakte (2×10A + B) × B af van de totale oppervlakte

Deze aftrekking resulteert in het gebied S-(10A+B)² dat niet is berekend (en dat zal worden gebruikt om het volgende cijfer op dezelfde manier te berekenen).

Stap 11. Om het volgende cijfer, C, te berekenen, herhaalt u het proces

Verlaag het volgende paar (S_C) van S om N2 aan de linkerkant te krijgen, en zoek de grootste C zodat je (2×10×(10A+B)+C) × C N2 hebt (gelijk aan het tweemaal schrijven van het tweecijferige getal "AB" gevolgd door "_× _=". Zoek het grootste overeenkomende cijfer in de lege velden, dat een antwoord geeft dat kleiner is dan of gelijk is aan N2, zoals eerder.

Tips

• Een decimaalteken verplaatsen met een veelvoud van twee cijfers in een getal (een veelvoud van 100), betekent het verplaatsen van een decimaalteken met een veelvoud van één cijfer in zijn vierkantswortel (een veelvoud van 10).
• In dit voorbeeld kan 1,73 als een "rest" worden beschouwd: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Deze methode kan voor elke basis worden gebruikt, niet alleen voor basis 10 (decimaal).
• U kunt calculus gebruiken die voor u handiger is. Sommige mensen schrijven het resultaat boven het beginnummer.
• Een alternatieve manier om herhaalde breuken te gebruiken is om deze formule te volgen: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Als u bijvoorbeeld de vierkantswortel van 780, 14 wilt berekenen, is het gehele getal waarvan de kwadratische waarde het dichtst bij 780, 14 ligt 28, dus z=780, 14, x=28 en y=-3, 86. Waarden invoeren en alleen schattingen berekenen voor x + y/(2x) levert (in de eenvoudigste bewoordingen) 78207/20800 of ongeveer 27, 931(1) op; volgende termijn, 4374188/156607 of ongeveer 27, 930986 (5). Elke term voegt ongeveer 3 decimalen toe aan de nauwkeurigheid van het vorige aantal decimalen.

Waarschuwing

Zorg ervoor dat u de cijfers in paren scheidt, beginnend bij de komma. Splitst 79.520.789.182, 47897 in "79 52 07 89 18" 2, 4 78 97" retourneert een nutteloos nummer.