Een complexe breuk is een breuk waarin de teller, noemer of beide ook een breuk bevatten. Om deze reden worden complexe breuken soms "gestapelde breuken" genoemd. Het vereenvoudigen van complexe breuken kan gemakkelijk of moeilijk zijn, afhankelijk van het aantal getallen in de teller en noemer, of een van de getallen een variabele is, of de complexiteit van het variabele getal. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan!
Stap
Methode 1 van 2: Complexe breuken vereenvoudigen met inverse vermenigvuldiging
Stap 1. Vereenvoudig indien nodig de teller en noemer tot een enkele breuk
Complexe breuken zijn niet altijd moeilijk op te lossen. In feite zijn complexe breuken waarvan de teller en noemer een enkele breuk bevatten meestal vrij eenvoudig op te lossen. Dus, als de teller of noemer (of beide) van een complexe breuk meerdere breuken of breuken en een geheel getal bevat, vereenvoudig het dan om een enkele breuk in zowel de teller als de noemer te krijgen. Vind het kleinste gemene veelvoud (LCM) van twee of meer breuken.
-
Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we een complexe breuk (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) willen vereenvoudigen. Eerst zullen we zowel de teller als de noemer van een complexe breuk vereenvoudigen tot een enkele breuk.
- Om de teller te vereenvoudigen, gebruikt u de LCM 15 die wordt verkregen door 3/5 te vermenigvuldigen met en 3/3. De teller is 9/15 + 2/15, wat gelijk is aan 11/15.
- Om de noemer te vereenvoudigen, gebruiken we het LCM-resultaat van 70 dat wordt verkregen door 5/7 te vermenigvuldigen met 10/10 en 3/10 met 7/7. De noemer is 50/70 - 21/70, wat gelijk is aan 29/70.
- Dus de nieuwe complexe breuk is (11/15)/(29/70).
Stap 2. Keer de noemer om om de reciproke te vinden
Per definitie is het delen van het ene getal door het andere hetzelfde als het eerste getal vermenigvuldigen met het omgekeerde van het tweede getal. Nu we een complexe breuk hebben met een enkele breuk in zowel de teller als de noemer, zullen we deze deling gebruiken om de complexe breuk te vereenvoudigen. Zoek eerst het omgekeerde van de breuk onderaan de complexe breuk. Doe dit door de breuk te "omkeren" - door de teller in plaats van de noemer te plaatsen en vice versa.
-
In ons voorbeeld is de breuk in de noemer van de complexe breuk (11/15)/(29/70) 29/70. Om de inverse te vinden, "inverteren" we deze zodat we krijgen 70/29.
Merk op dat als een complexe breuk een geheel getal in de noemer heeft, we deze als een breuk kunnen behandelen en de reciproke ervan kunnen vinden. Als de complexe breuk bijvoorbeeld (11/15)/(29) is, kunnen we de noemer 29/1 maken, wat betekent dat het omgekeerde is 1/29.
Stap 3. Vermenigvuldig de teller van de complexe breuk met het omgekeerde van de noemer
Nu we het omgekeerde hebben van de noemer van de complexe breuk, vermenigvuldig het met de teller om een enkele eenvoudige breuk te krijgen. Onthoud dat om twee breuken te vermenigvuldigen, we alleen vermenigvuldigen kruisen - de teller van de nieuwe breuk is het nummer van de teller van de twee oude breuken, evenals de noemer.
In ons voorbeeld vermenigvuldigen we 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 en 15 × 29 = 435. Dus de nieuwe eenvoudige breuk is 770/435.
Stap 4. Vereenvoudig de nieuwe breuk door de grootste gemene deler te vinden
We hebben al één eenvoudige breuk, dus we hoeven alleen maar het eenvoudigste getal te bedenken. Zoek de grootste gemene deler (GCF) van de teller en de noemer en deel beide door dit getal om het te vereenvoudigen.
Een van de gemeenschappelijke factoren van 770 en 435 is 5. Dus als we de teller en noemer van de breuk delen door 5, krijgen we 154/87. 154 en 87 hebben geen gemeenschappelijke factoren, dus dat is het definitieve antwoord!
Methode 2 van 2: Complexe breuken met variabele getallen vereenvoudigen
Stap 1. Gebruik indien mogelijk de omgekeerde vermenigvuldigingsmethode hierboven
Voor alle duidelijkheid: bijna alle complexe breuken kunnen worden vereenvoudigd door de teller en noemer af te trekken met een enkele breuk en de teller te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de noemer. Complexe breuken die variabelen bevatten zijn ook inbegrepen, hoewel hoe complexer de uitdrukking van variabelen in complexe breuken is, hoe moeilijker en tijdrovender het zal zijn om omgekeerde vermenigvuldiging te gebruiken. Voor "gemakkelijke" complexe breuken die variabelen bevatten, is inverse vermenigvuldiging een goede keuze, maar complexe breuken met meerdere variabele getallen in de teller en noemer kunnen gemakkelijker te vereenvoudigen zijn op de alternatieve manier die hieronder wordt beschreven.
- (1/x)/(x/6) is bijvoorbeeld eenvoudig te vereenvoudigen door inverse vermenigvuldiging. 1/x × 6/x = 6/x2. Het is niet nodig om hier alternatieve methoden te gebruiken.
- (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) is echter moeilijker te vereenvoudigen door inverse vermenigvuldiging. Het kan een ingewikkeld proces zijn om de teller en noemer van complexe breuken terug te brengen tot enkele breuken, omgekeerd te vermenigvuldigen en het resultaat terug te brengen tot de eenvoudigste getallen. In dit geval is de alternatieve methode hieronder wellicht eenvoudiger.
Stap 2. Als omgekeerde vermenigvuldiging niet praktisch is, begin dan met het vinden van de LCM van het fractionele getal in de complexe breuk
De eerste stap is om de LCM van alle fractionele getallen in een complexe breuk te vinden - zowel in de teller als in de noemer. Meestal, als een of meer gebroken getallen een getal in de noemer hebben, is de LCM het getal in de noemer.
Dit is gemakkelijker te begrijpen met een voorbeeld. Laten we proberen de hierboven genoemde complexe breuken te vereenvoudigen, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). De fractionele getallen in deze complexe breuk zijn (1)/(x+3) en (1)/(x-5). De LCM van de twee breuken is het getal in de noemer: (x+3)(x-5).
Stap 3. Vermenigvuldig de teller van de complexe breuk met de nieuw gevonden LCM
Vervolgens moeten we het getal in de complexe breuk vermenigvuldigen met de LCM van het breukgetal. Met andere woorden, we zullen alle complexe breuken vermenigvuldigen met (KPK)/(KPK). We kunnen dit onafhankelijk doen omdat (KPK)/(KPK) gelijk is aan 1. Vermenigvuldig eerst de tellers zelf.
-
In ons voorbeeld zullen we de complexe breuk vermenigvuldigen, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dwz ((x+ 3)(x-5))/((x+3)(x-5)). We moeten vermenigvuldigen met de teller en noemer van de complexe breuk, waarbij we elk getal vermenigvuldigen met (x + 3) (x-5).
-
Laten we eerst de tellers vermenigvuldigen: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
- = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
- = (x-5) + (x(x.)2 - 2x - 15)) - (10(x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = x3 - 12x2 +6x +145
-
Stap 4. Vermenigvuldig de noemer van de complexe breuk met de LCM zoals je zou doen met de teller
Ga door met het vermenigvuldigen van de complexe breuk met de gevonden LCM door naar de noemer te gaan. Vermenigvuldig alles, vermenigvuldig elk getal met de LCM.
-
De noemer van onze complexe breuk, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), is x +4 +((1) //(x-5)). We zullen het vermenigvuldigen met de gevonden LCM, (x+3)(x-5).
- (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
- = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
- = x(x2 - 2x - 15) + 4(x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x+3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x+3)
- = x3 + 2x2 - 22x - 57
Stap 5. Maak een nieuwe en vereenvoudigde breuk van de nieuw gevonden teller en noemer
Na vermenigvuldiging van de breuk met (KPK)/(KPK) en vereenvoudiging door de getallen te combineren, is het resultaat een eenvoudige breuk die geen breukgetal bevat. Merk op dat door te vermenigvuldigen met de LCM van het breukgetal in de oorspronkelijke complexe breuk, de noemer van deze breuk wordt uitgeput en het variabele getal en het gehele getal in de teller en noemer van het antwoord blijven staan, zonder breuken.
Met de hierboven gevonden teller en noemer kunnen we een breuk construeren die hetzelfde is als de oorspronkelijke complexe breuk, maar niet het breukgetal bevat. De verkregen teller is x3 - 12x2 + 6x + 145 en de noemer die we kregen was x3 + 2x2 - 22x - 57, dus de nieuwe breuk wordt (x3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)
Tips
- Laat elke stap van het werk zien. Breuken kunnen verwarrend zijn als de stappen te snel tellen of het uit het hoofd proberen te doen.
- Vind voorbeelden van complexe breuken op internet of in boeken. Volg elke stap totdat deze onder de knie kan worden.
