Hoe teken je een vierkante grafiek: 10 stappen (met afbeeldingen)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-02-01 14:14

Wanneer grafisch weergegeven, heeft de kwadratische vergelijking de vorm bijl² + bx + c of een(x-h)² + k vormen de letter U of een omgekeerde U-curve die een parabool wordt genoemd. Het tekenen van een kwadratische vergelijking is zoeken naar het hoekpunt, de richting en vaak het snijpunt x en y. In het geval van vrij eenvoudige kwadratische vergelijkingen kan het voldoende zijn om een reeks x-waarden in te voeren en de curve te plotten op basis van de resulterende punten. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan.

Stap

Stap 1. Bepaal de vorm van de kwadratische vergelijking die je hebt

Kwadratische vergelijkingen kunnen in drie verschillende vormen worden geschreven: algemene vorm, hoekpuntvorm en kwadratische vorm. U kunt elke vorm gebruiken om een kwadratische vergelijking te tekenen; het proces van het weergeven van elke grafiek is iets anders. Als je huiswerk maakt, krijg je meestal vragen in een van deze twee vormen. Met andere woorden, je kunt niet kiezen, dus het is het beste om beide te begrijpen. De twee vormen van de kwadratische vergelijking zijn:

• Algemene vorm.

  In deze vorm wordt de kwadratische vergelijking geschreven als: f(x) = ax² + bx + c waarbij a, b en c reële getallen zijn en a niet nul is.

  Twee kwadratische vergelijkingen van algemene vorm zijn bijvoorbeeld f(x) = x² + 2x + 1 en f(x) = 9x² + 10x -8.

• Piekvorm.

  In deze vorm wordt de kwadratische vergelijking geschreven als: f(x) = a(x - h)² + k waarbij a, h en k reële getallen zijn en a niet nul is. Het wordt de hoekpuntvorm genoemd omdat h en k onmiddellijk het hoekpunt (middelpunt) van je parabool op het punt (h, k) geven.

  De twee vertex-vormvergelijkingen zijn f(x) = 9(x - 4)² + 18 en -3(x - 5)² + 1

• Om elk type vergelijking te plotten, moeten we eerst het hoekpunt van de parabool vinden, het middelpunt (h, k) aan het einde van de curve. De coördinaten van de pieken in de algemene vorm worden berekend als: h = -b/2a en k = f(h), terwijl in de piekvorm h en k in de vergelijking staan.

Stap 2. Definieer uw variabelen

Om een kwadratisch probleem op te lossen, moeten de variabelen a, b en c (of a, h en k) meestal worden gedefinieerd. Een gewoon algebraprobleem geeft een kwadratische vergelijking met de beschikbare variabelen, meestal in algemene vorm, maar soms in piekvorm.

• Bijvoorbeeld voor een vergelijking van algemene vorm f(x) = 2x² +16x + 39, we hebben a = 2, b = 16 en c = 39.
• Voor de piekvormvergelijking f(x) = 4(x - 5)² + 12, we hebben a = 4, h = 5 en k = 12.

Stap 3. Bereken h

In de vertex-vormvergelijking is uw h-waarde al gegeven, maar in de algemene vormvergelijking moet de h-waarde worden berekend. Onthoud dat, voor vergelijkingen van algemene vorm, h = -b/2a.

• In ons algemene vormvoorbeeld (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Na het oplossen vinden we dat h = - 4.
• In ons voorbeeld van de vertexvorm (f(x) = 4(x - 5)² + 12), weten we dat h = 5 zonder enig rekenwerk.

Stap 4. Bereken k

Net als h is k al bekend in de vergelijking van de piekvorm. Voor vergelijkingen van algemene vorm, onthoud dat k = f(h). Met andere woorden, je kunt k vinden door alle x-waarden in je vergelijking te vervangen door de h-waarden die je zojuist hebt gevonden.

• In ons algemene vormvoorbeeld hebben we al bepaald dat h = -4. Om k te vinden, lossen we onze vergelijking op door onze waarde van h in te vullen in plaats van x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Stap 7.

• In ons voorbeeld van een piekvorm kennen we opnieuw de waarde van k (wat 12 is) zonder dat we iets hoeven te rekenen.

Stap 5. Teken je piek

Het hoekpunt van je parabool is het punt (h, k) - h vertegenwoordigt de x-coördinaat, terwijl k de y-coördinaat vertegenwoordigt. Het hoekpunt is het middelpunt van je parabool - ofwel aan de onderkant van de U of aan de bovenkant van de omgekeerde U. Het kennen van de hoekpunten is een belangrijk onderdeel van het tekenen van een precieze parabool - vaak, in schoolwerk, is het bepalen van het hoekpunt het onderdeel waarnaar in een vraag moet worden gezocht.

• In ons algemene vormvoorbeeld is onze piek (-4, 7). Onze parabool zal dus 4 stappen naar links culmineren vanaf 0 en 7 stappen hierboven (0, 0). We moeten dit punt in onze grafiek weergeven en ervoor zorgen dat we de coördinaten markeren.
• In ons voorbeeld van de vertex-vorm is onze vertex (5, 12). We moeten een punt tekenen 5 stappen naar rechts en 12 stappen erboven (0, 0).

Stap 6. Teken de as van de parabool (optioneel)

De symmetrieas van een parabool is een lijn die door het midden gaat en deze precies in het midden verdeelt. Op deze as zal de linkerkant van de parabool de rechterkant weerspiegelen. Voor kwadratische vergelijkingen in de vorm ax² + bx + c of a(x - h)² + k, de symmetrie-as is de lijn die evenwijdig is aan de y-as (met andere woorden, precies verticaal) en door het hoekpunt gaat.

In het geval van ons algemene vormvoorbeeld is de as de lijn evenwijdig aan de y-as en door het punt (-4, 7). Hoewel het geen deel uitmaakt van de parabool, zal het dun markeren van deze lijn op je grafiek je uiteindelijk helpen om de symmetrische vorm van de paraboolcurve te zien

Stap 7. Zoek de richting van de opening van de parabool

Nadat we de piek en as van de parabool kennen, moeten we vervolgens weten of de parabool omhoog of omlaag gaat. Gelukkig is dit eenvoudig. Als de waarde van a positief is, zal de parabool naar boven openen, terwijl als de waarde van a negatief is, de parabool naar beneden zal openen (d.w.z. de parabool wordt omgekeerd).

• Voor ons algemene vormvoorbeeld (f(x) = 2x² +16x + 39), weten we dat we een parabool hebben die zich opent omdat, in onze vergelijking, a = 2 (positief).
• Voor ons voorbeeld van de vertexvorm (f(x) = 4(x - 5)² + 12), weten we dat we ook een parabool hebben die opent omdat a = 4 (positief).

Stap 8. Zoek en teken indien nodig het x-snijpunt

Vaak wordt u bij schoolwerk gevraagd om het x-snijpunt in de parabool te vinden (dat is een of twee punten waar de parabool de x-as raakt). Zelfs als je er geen vindt, zijn deze twee punten erg belangrijk voor het tekenen van een precieze parabool. Niet alle parabolen hebben echter een x-snijpunt. Als je parabool een hoekpunt heeft dat opengaat en het hoekpunt boven de x-as is of als het naar beneden opent en het hoekpunt zich onder de x-as bevindt, de parabool heeft geen x-snijpunt. Los anders uw x-snijpunt op een van de volgende manieren op:

• Maak gewoon f(x) = 0 en los de vergelijking op. Deze methode kan worden gebruikt voor eenvoudige kwadratische vergelijkingen, vooral in piekvorm, maar zal erg moeilijk zijn voor complexe vergelijkingen. Zie hieronder voor een voorbeeld

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Wortel (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 en 13 is het x-snijpunt in de parabool.

• Factor uw vergelijking. Sommige vergelijkingen in de vorm ax² + bx + c kunnen gemakkelijk worden ontbonden in de vorm (dx + e)(fx +g), waarbij dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, en e × g = c. In dit geval zijn uw x-intercepts x-waarden, waardoor elke term tussen haakjes = 0. Bijvoorbeeld:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • In dit geval is uw enige x-snijpunt -1 omdat als u x gelijk maakt aan -1, elke factorterm tussen haakjes gelijk is aan 0.

• Gebruik de kwadratische formule. Als u uw x-snijpunt niet gemakkelijk kunt oplossen of uw vergelijking kunt ontbinden, gebruik dan een speciale vergelijking, een kwadratische formule genaamd, die voor dit doel is gemaakt. Als het nog niet is opgelost, converteert u uw vergelijking naar de vorm ax² + bx + c, voer dan a, b en c in de formule x = (-b +/- sqrt(b) in² - 4ac))/2a. Merk op dat deze methode je vaak twee antwoorden geeft voor de waarde van x, wat OK is - het betekent alleen dat je parabool twee x-intercepts heeft. Zie hieronder voor een voorbeeld:

  • -5x² +1x + 10 wordt als volgt in de kwadratische formule gezet:
  • x = (-1 +/- Wortel (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Wortel (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Wortel(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) en (-15, 18/-10). Het x-snijpunt in de parabool is x = - 1, 318 en 1, 518
  • Ons vorige voorbeeld van de algemene vorm, 2x² +16x+39 wordt als volgt in de kwadratische formule gezet:
  • x = (-16 +/- Wortel (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Wortel (256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- Wortel(-56)/-10
  • Omdat het onmogelijk is om de vierkantswortel van een negatief getal te vinden, weten we dat deze parabool heeft geen x-intercept.

Stap 9. Zoek en teken indien nodig het y-snijpunt

Hoewel het vaak niet nodig is om het y-snijpunt in vergelijkingen te zoeken (het punt waar de parabool door de y-as gaat), moet je het uiteindelijk misschien vinden, vooral als je op school zit. Het proces is vrij eenvoudig - maak gewoon x = 0 en los vervolgens je vergelijking op voor f (x) of y, die de waarde van y geeft waar je parabool door de y-as gaat. In tegenstelling tot het x-snijpunt, kan een gewone parabool slechts één y-snijpunt hebben. Opmerking - voor vergelijkingen van algemene vorm is het y-snijpunt op y = c.

• We weten bijvoorbeeld dat onze kwadratische vergelijking 2x. is² + 16x + 39 heeft een y-snijpunt bij y = 39, maar het kan ook op de volgende manier worden gevonden:

  • f(x) = 2x² +16x+39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Het y-snijpunt van de parabool is at j = 39.

    Zoals hierboven opgemerkt, is het y-snijpunt op y = c.

• De vorm van onze hoekpuntvergelijking is 4(x - 5)² + 12 heeft een y-snijpunt dat op de volgende manier kan worden gevonden:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Het y-snijpunt van de parabool is at j = 112.

Stap 10. Teken indien nodig extra punten en teken vervolgens een grafiek

Nu heb je het hoekpunt, de richting, het x-snijpunt en mogelijk het y-snijpunt in je vergelijking. In dit stadium kun je proberen je parabool te tekenen met behulp van de punten die je als richtlijn hebt, of andere punten zoeken om je parabool in te vullen, zodat de curve die je tekent nauwkeuriger is. De eenvoudigste manier om dit te doen, is door eenvoudig een aantal x-waarden in te voeren aan elke kant van uw hoekpunt en deze punten vervolgens te plotten met behulp van de y-waarden die u krijgt. Vaak vragen leraren je om naar verschillende punten te zoeken voordat je je parabool tekent.

• Laten we de vergelijking x. bekijken² + 2x + 1. We weten al dat het x-snijpunt pas op x = -1 ligt. Aangezien de kromme het x-snijpunt slechts op één punt raakt, kunnen we concluderen dat het hoekpunt zijn x-snijpunt is, wat betekent dat het hoekpunt (-1, 0) is. We hebben in feite maar één punt voor deze parabool - niet genoeg om een goede parabool te tekenen. Laten we een aantal andere punten zoeken om ervoor te zorgen dat we een grondige grafiek tekenen.

  • Laten we de y-waarden zoeken voor de volgende x-waarden: 0, 1, -2 en -3.
  • Voor 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Ons punt is (0, 1).

  • Voor 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Ons punt is: (1, 4).

  • Voor -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Ons punt is (-2, 1).

  • Voor -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Ons punt is (-3, 4).

  • Teken deze punten op de grafiek en teken uw U-vormige curve. Merk op dat de parabool perfect symmetrisch is - wanneer uw punten aan de ene kant van de parabool gehele getallen zijn, kunt u gewoonlijk het werk verminderen van het eenvoudigweg reflecteren van een bepaald punt op de symmetrieas van de parabool om hetzelfde punt aan de andere kant van de parabool te vinden.

Tips

• Rond getallen af of gebruik breuken volgens het verzoek van je algebraleraar. Dit zal u helpen om de kwadratische vergelijking beter te plotten.
• Merk op dat in f(x) = ax² + bx + c, als b of c gelijk is aan nul, zullen deze getallen verdwijnen. Bijvoorbeeld 12x² + 0x + 6 wordt 12x² + 6 omdat 0x 0 is.