Alle rechthoekige driehoeken hebben één rechte hoek (90 graden), en de hypotenusa is de zijde tegenover die hoek. De hypotenusa is de langste zijde van de driehoek, en het is ook heel gemakkelijk om het op een paar verschillende manieren te vinden. Dit artikel leert je hoe je de lengte van de hypotenusa kunt vinden met behulp van de stelling van Pythagoras als je de lengtes van de andere twee zijden van de driehoek kent. Vervolgens leert dit artikel u hoe u de hypotenusa kunt identificeren van enkele speciale rechthoekige driehoeken die vaak in examens voorkomen. Ten slotte leert dit artikel je hoe je de lengte van de hypotenusa kunt vinden met behulp van de wet van de sinus als je alleen de lengte van één zijde kent en de meting van een andere hoek dan een rechte hoek.
Stap
Methode 1 van 3: De stelling van Pythagoras gebruiken
Stap 1. Leer de stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras beschrijft de relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Deze stelling stelt dat voor elke rechthoekige driehoek met zijden langs a en b, en een schuine zijde langs c, een2 + b2 = c2.
Stap 2. Zorg ervoor dat uw driehoek een rechthoekige driehoek is
De stelling van Pythagoras is alleen van toepassing op rechthoekige driehoeken, en per definitie hebben alleen rechthoekige driehoeken een schuine zijde. Als je driehoek één hoek heeft die precies 90 graden is, is het een rechthoekige driehoek en kun je verder gaan.
Rechte hoeken worden in studieboeken en examens vaak aangeduid met een vierkantje in de hoek van de hoek. Dit specifieke teken betekent "90 graden"
Stap 3. Wijs variabelen a, b en c toe aan de zijkanten van je driehoek
De variabele "c" wordt altijd toegewezen aan de hypotenusa, of langste zijde. Kies een van de andere zijden als "a", en noem de andere zijde "b" (het maakt niet uit welke zijde a of b is; de berekening blijft hetzelfde). Sluit vervolgens de lengtes van a en b in de formule aan, volgens het volgende voorbeeld:
Als je driehoek zijden heeft met lengtes 3 en 4, en je hebt de letters aan de zijkanten toegewezen zodat a = 3 en b = 4, dan zou je je vergelijking schrijven als: 32 + 42 = c2.
Stap 4. Zoek het kwadraat van a en b
Om het kwadraat van een getal te vinden, vermenigvuldig je het getal gewoon met zichzelf, zodat een2 = a x a. Zoek de vierkanten van a en b en sluit ze in je formule in.
- Als a = 3, a2 = 3 x 3, of 9. Als b = 4, b2 = 4 x 4, of 16.
- Wanneer u die waarden in uw vergelijking invult, zou uw vergelijking er nu als volgt uit moeten zien: 9 + 16 = c2.
Stap 5. Tel de waarden van a. bij elkaar op2 en B2.
Vul de som in je vergelijking in, en dit geeft je de waarde van c2. Er is nog maar één stap over en je lost de hypotenusa op!
In ons voorbeeld, 9 + 16 = 25, dus je zou schrijven 25 = c2.
Stap 6. Zoek de vierkantswortel van c2.
Gebruik de vierkantswortelfunctie op uw rekenmachine (of geheugen of uw vermenigvuldigingstabel) om de vierkantswortel van c. te vinden2. Het antwoord is de lengte van uw hypotenusa!
In ons voorbeeld, C2 = 25. De vierkantswortel van 25 is 5 (5 x 5 = 25, dus Wortel(25) = 5). Het betekent, c = 5, de lengte van onze hypotenusa!
Methode 2 van 3: De hypotenusa van een speciale rechthoekige driehoek vinden
Stap 1. Leer driehoeken herkennen met de Pythagoras Triple
De zijlengtes van de Pythagoras triple zijn gehele getallen volgens de stelling van Pythagoras. Deze speciale driehoeken komen vaak voor in leerboeken geometrie en gestandaardiseerde examens zoals de VN. Als je je vooral de eerste 2 Pythagoras-drietallen herinnert, kun je veel tijd besparen op deze tests, omdat je snel de hypotenusa van een van deze driehoeken zult ontdekken door alleen maar naar de lengte van de zijden te kijken!
- De eerste Pythagoreïsche tripel was 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Als je een rechthoekige driehoek ziet met benen van lengte 3 en 4, zul je meteen geloven dat de hypotenusa 5 is zonder dat je berekeningen hoeft te doen.
-
De drievoudige verhouding van Pythagoras geldt zelfs als de zijden worden vermenigvuldigd met een ander getal. Bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek met beenlengte
Stap 6. da
Stap 8. zal een hypotenusa hebben
Stap 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Hetzelfde geldt voor 9-12-15, en zelfs 1, 5-2-2, 5. Probeer de berekeningen en ontdek het zelf!
- De tweede Pythagoras triple die vaak voorkomt in examens is 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Let ook op de veelvouden zoals 10-24-26 en 2, 5-6-6, 5.
Stap 2. Onthoud de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek 45-45-90
Een rechthoekige driehoek 45-45-90 heeft hoeken van 45, 45 en 90 graden en wordt ook wel een gelijkbenige rechthoekige driehoek genoemd. Deze driehoek komt vaak voor in gestandaardiseerde examens en is een zeer eenvoudig op te lossen driehoek. De verhouding van de zijden van deze driehoek is 1:1:Wortel(2), wat betekent dat de lengtes van de benen hetzelfde zijn, en de lengte van de hypotenusa is gewoon de lengte van de benen maal de vierkantswortel van twee.
- Om de hypotenusa van deze driehoek te berekenen op basis van de lengte van een van zijn benen, vermenigvuldigt u eenvoudig de lengte van het been met Sqrt(2).
- Het is handig om deze vergelijkingen te kennen, vooral wanneer je examen- of huiswerkvragen de zijdelengtes als variabelen in plaats van gehele getallen geven.
Stap 3. Bestudeer de zijverhoudingen van een 30-60-90 rechthoekige driehoek
Deze driehoeken hebben hoekafmetingen van 30, 60 en 90 graden en treden op wanneer u een gelijkzijdige driehoek doormidden snijdt. De zijden van een 30-60-90 rechthoekige driehoek hebben altijd de verhouding 1: Wortel(3):2, of x:Wortel (3)x:2x. Als je de lengte van één been van een rechthoekige driehoek 30-60-90 zou krijgen en je zou vragen om de hypotenusa te vinden, dan zou dit probleem heel eenvoudig zijn:
-
Als u de lengte van het kortste been krijgt (tegenover een hoek van 30 graden), vermenigvuldigt u eenvoudig de lengte van het been met 2 om de lengte van de hypotenusa te vinden. Als de lengte van het kortste been bijvoorbeeld
Stap 4., je weet dat de lengte van de hypotenusa moet zijn
Stap 8..
-
Als je de lengte van het langere been krijgt (tegenover een hoek van 60 graden), vermenigvuldig die lengte dan met 2/Wortel (3) om de lengte van de hypotenusa te vinden. Als de lengte van het langere been bijvoorbeeld is
Stap 4., weet je dat de lengte van de bepaalde hypotenusa is 4, 62.
Methode 3 van 3: De hypotenusa vinden met behulp van de wet van sinus
Stap 1. Begrijp de betekenis van "Sinus"
De termen "sinus", "cosinus" en "tangens" verwijzen naar de verschillende verhoudingen tussen de hoeken en/of zijden van een rechthoekige driehoek. sinus een hoek wordt gedefinieerd als de lengte van de zijde tegenover de hoek gedeeld door driehoek hypotenusa. De afkorting voor sinus in vergelijkingen en rekenmachines is zonde.
Stap 2. Leer hoe u sinus kunt berekenen
Zelfs eenvoudige wetenschappelijke rekenmachines hebben een sinusfunctie. Zoek naar de knop met de tekst zonde. Om de sinus van een hoek te vinden, drukt u meestal op de toets zonde en voer vervolgens de hoekmeting in graden in. In sommige rekenmachines moet u echter eerst de hoekmeting invoeren en vervolgens op de knop. drukken zonde. Je zult met je rekenmachine moeten experimenteren of de handleiding moeten raadplegen om erachter te komen welke methode je moet gebruiken.
- Om de sinus van een hoek van 80 graden te vinden, moet u invoeren zonde 80 gevolgd door een gelijkteken of Enter, of 80 zonde. (Het antwoord is -0, 9939.)
- U kunt ook "sinuscalculator" typen in een zoekopdracht op internet en zoeken naar enkele gebruiksvriendelijke rekenmachines, die giswerk uit de weg ruimen.
Stap 3. Leer de wet van sinus
De sinusregel is een handig hulpmiddel bij het oplossen van driehoeken. In het bijzonder kan deze wet u helpen de hypotenusa van een rechthoekige driehoek te vinden als u de lengte van één zijde kent en de meting van één andere hoek dan die rechte hoek. Voor elke driehoek met zijden een, B, en C, en hoeken EEN, B, en C, stelt de Wet van Sine dat: een / zonde A = b / zonde B = c / zonde C.
De wet van sinussen kan eigenlijk worden gebruikt om elke driehoek op te lossen, maar alleen rechthoekige driehoeken hebben een hypotenusa
Stap 4. Wijs variabelen a, b en c toe aan de zijkanten van je driehoek
De hypotenusa (langste zijde) moet "c" zijn. Voor het gemak, label "a" voor de kant van bekende lengte en label "b" voor de andere kant. De rechte hoek tegenover de hypotenusa is "C". De hoek tegenover zijde "a" is hoek "A", en de hoek tegenover zijde "b" is "B".
Stap 5. Bereken de meting van de derde hoek
Omdat het een rechte hoek is, weten we dat al C = 90 graden, en je kent ook de afmetingen EEN of B. Aangezien de maat van de binnenste graad van een driehoek altijd gelijk is aan 180 graden, kun je eenvoudig de meting van de hoeken van alle drie berekenen met behulp van de formule: 180 – (90 + A) = B. Je kunt de vergelijking ook omkeren naar 180 – (90 + B) = A.
Als u bijvoorbeeld weet dat A = 40 graden, B = 180 – (90 + 40). Vereenvoudig dit tot B = 180 – 130, en dat kun je snel vaststellen B = 50 graden.
Stap 6. Controleer je driehoek
In deze stap ken je al de afmetingen van de drie hoeken en de lengte van zijde a. Nu is het tijd om deze informatie in de wet van sinusvergelijkingen in te vullen om de lengtes van de andere twee zijden te bepalen.
Laten we, om ons voorbeeld voort te zetten, zeggen dat de lengte van zijde a = 10. Hoek C = 90 graden, hoek A = 40 graden en hoek B = 50 graden
Stap 7. Pas de sinusregel toe op je driehoek
We hoeven alleen maar onze getallen in te vullen en de volgende vergelijking op te lossen om de lengte van hypotenusa c te vinden: zijde lengte a / sin A = zijde lengte c / sin C. Deze vergelijking ziet er misschien een beetje eng uit, maar de sinus van 90 graden is altijd hetzelfde en is altijd gelijk aan 1! Onze vergelijking kan dus worden vereenvoudigd tot: a / sin A = c / 1, of gewoon a / sin A = c.
Stap 8. Verdeel de lengte van zijde a met de sinus van de hoek A om de lengte van de hypotenusa te vinden!
Je kunt het in twee afzonderlijke stappen vinden, eerst door sin A te berekenen en het resultaat op te schrijven, dan te delen door a. Of u kunt alles tegelijk in de rekenmachine invoeren. Als u een rekenmachine gebruikt, vergeet dan niet om de haakjes achter het deelteken te plaatsen. Voer bijvoorbeeld in 10 / (zonde 40) of 10 / (40 zonde), afhankelijk van uw rekenmachine.
