Hoewel het soms ontmoedigend lijkt, is het vierkantswortelprobleem eigenlijk niet zo moeilijk op te lossen. Eenvoudige vierkantswortelproblemen kunnen meestal net zo gemakkelijk worden opgelost als eenvoudige vermenigvuldigings- en delingsproblemen. Voor complexere vragen kost het wat extra moeite. Maar met de juiste aanpak kan elk moeilijk probleem worden opgelost. Via dit artikel helpen we je in een paar eenvoudige stappen vierkantswortelproblemen op te lossen.
Stap
Deel 1 van 3: Vierkanten en vierkantswortels begrijpen
Stap 1. Het vierkant is het getal vermenigvuldigd met het getal zelf
Om de vierkantswortel te begrijpen, is het goed om eerst de betekenis van de vierkantswortel te begrijpen. Simpel gezegd, een vierkant is een getal vermenigvuldigd met het getal zelf. 3 kwadraat is bijvoorbeeld 3 keer 3 = 9 en 9 kwadraat is 9 keer 9 = 81. Het kwadraat wordt weergegeven door de kleine 2 rechtsboven in het kwadraat - als volgt: 32, 92, 1002, enzovoort.
Probeer eens wat andere getallen te kwadrateren om dit concept te testen. Onthoud dat het kwadrateren van een getal een getal met zichzelf vermenigvuldigt. Je kunt zelfs negatieve getallen kwadrateren. Het resultaat is altijd een positief getal. Bijvoorbeeld -82 = -8 × -8 = 64.
Stap 2. De vierkantswortel is het omgekeerde van het vierkant
Het symbool voor de vierkantswortel (√, ook bekend als het "radicale" symbool) is in wezen het tegenovergestelde van het symbool 2. Als je een radicaal vindt, vraag jezelf dan af: welk getal, indien gekwadrateerd, zou resulteren in het getal binnen het radicaal? Als je bijvoorbeeld naar √ (9) kijkt, zoek dan het getal dat in het kwadraat negen is. Het antwoord is dus "drie", omdat 32 = 9.
-
Laten we als een ander voorbeeld proberen de vierkantswortel van 25 (√(25)) te vinden. Dat wil zeggen, we zijn op zoek naar een getal dat in het kwadraat het resultaat 25 is. Omdat 52 = 5 × 5 = 25, dan (25) =
Stap 5..
-
De vierkantswortel kan ook worden beschouwd als het "ongedaan maken" van het vierkant. Als we bijvoorbeeld (64), de vierkantswortel van 64 willen vinden, beschouw 64 dan als 82. Aangezien het vierkantswortelsymbool in wezen het vierkantssymbool "ontkent", daarom (64) = (82) =
Stap 8..
Stap 3. Ken het verschil tussen perfecte en imperfecte vierkanten
Tot nu toe waren de resultaten van onze vierkantswortelberekeningen hele getallen. De vragen waar je later mee te maken krijgt zullen niet zo eenvoudig zijn, er zullen vragen zijn met decimale antwoorden met een paar cijfers achter de komma. Getallen die na het kwadrateren worden afgerond (dat wil zeggen, geen breuken of decimale getallen) worden ook wel "perfecte vierkanten" genoemd. Alle voorgaande voorbeelden (9, 25 en 64) zijn perfecte vierkanten, want als ze in het kwadraat zijn, is het resultaat een geheel getal (3, 5 en 8).
Aan de andere kant zijn getallen die niet worden afgerond nadat ze zijn gekwadrateerd, "imperfecte vierkanten". Meestal is het resultaat na het kwadrateren een fractioneel of decimaal getal. Soms zien zelfs de getallen er erg ingewikkeld uit, zoals (13) = 3, 605551275464…
Stap 4. Onthoud het kwadraat van de cijfers 1-12
Zoals je al weet, is het kwadrateren van een perfect vierkant getal heel eenvoudig. Het onthouden van de vierkanten van de nummers 1-12 kan erg handig zijn omdat deze nummers veel in het probleem zullen voorkomen. Zo bespaart u tijd tijdens het werken aan de vragen. De eerste 12 gekwadrateerde getallen zijn:
-
12 = 1 × 1 =
Stap 1.
-
22 = 2 × 2 =
Stap 4.
-
32 = 3 × 3 =
Stap 9.
-
42 = 4 × 4 =
Stap 16.
-
52 = 5 × 5 =
Stap 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Stap 5. Vereenvoudig de vierkantswortel door de perfecte vierkanten te verwijderen
Het vinden van de vierkantswortel van een onvolmaakt vierkantsgetal kan lastig zijn, vooral als u geen rekenmachine gebruikt. Het te kwadrateren getal kan echter worden vereenvoudigd om het berekenen te vergemakkelijken. Om dit te doen, scheidt u eenvoudig het getal binnen het wortelteken in verschillende factoren, verwijdert u vervolgens de vierkantswortel van de perfecte vierkantsgetallen en schrijft u het antwoord buiten het wortelteken. Deze methode is vrij eenvoudig om te doen - om je een beter begrip te geven, hier is meer uitleg:
- Laten we zeggen dat we de vierkantswortel van 900 willen berekenen. Splits 900 dus eenvoudig in zijn factoren. "Factoren" zijn getallen die met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd om een ander getal te produceren. Het getal 6 kan bijvoorbeeld worden verkregen door te vermenigvuldigen met en 1 × 6 en 2 × 3, dus de factoren van 6 zijn 1, 2, 3 en 6.
- Laten we met dat principe in gedachten 900 opsplitsen in zijn factoren. Om te beginnen schrijven we 900 als 9 × 100. Aangezien 9 een perfect vierkant is, kunnen we de vierkantswortel van 100 apart nemen. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Met andere woorden, (900) = 3√(100).
-
We kunnen het verder vereenvoudigen door 100 te scheiden in zijn factoren, namelijk 25 en 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Daarom kan worden berekend (900) = 3(10) =
Stap 30..
Stap 6. Gebruik een denkbeeldig getal voor de vierkantswortel van een negatief getal
Denk na, welk getal als het kwadraat is, is -16? Het antwoord, nee. Alle getallen in het kwadraat, het resultaat is altijd positief, want het is negatief (-), vermenigvuldigd met negatief is het resultaat positief (+). Dus om een negatief getal te kwadrateren, moeten we het negatieve getal vervangen door een denkbeeldig getal (meestal in de vorm van letters of symbolen). De variabele "i" wordt bijvoorbeeld over het algemeen gebruikt voor de vierkantswortel van -1. Een denkbeeldig getal staat altijd in de vierkantswortel van een negatief getal.
Opgemerkt moet worden dat hoewel denkbeeldige getallen nooit worden weergegeven door getallen, ze toch op verschillende manieren als getallen kunnen worden behandeld. De vierkantswortel van een negatief getal kan bijvoorbeeld worden gekwadrateerd om de vierkantswortel te verwijderen. Bijvoorbeeld, ik2 = - 1
Deel 2 van 3: Gebruik het Long Division-stijlalgoritme
Stap 1. Los vierkantswortelproblemen op, zoals staartdelingsproblemen
Hoewel tijdrovend, kunnen moeilijke vierkantswortelproblemen zonder rekenmachine worden opgelost. Om dit te doen, zullen we een methode (of algoritme) gebruiken die vergelijkbaar is met de verdeling van lange stapels.
- Begin met het schrijven van het vierkantswortelprobleem zoals u zou doen met een staartdelingsprobleem. Zoek als voorbeeldprobleem de wortel van 6, 45, wat geen geheel getal is. Eerst schrijven we het wortelteken (√), dan schrijven we eronder het getal waarvan we het kwadraat willen nemen. Trek vervolgens een lijn over de getallen, net als een lange stapelverdeling. Nu ziet het "√"-symbool eruit alsof het een staart heeft met onderaan het nummer 6.45.
- We zullen de cijfers boven het probleem schrijven, dus zorg ervoor dat je wat lege ruimte overlaat.
Stap 2. Groepeer de cijfers van het nummer in paren
Groepeer eerst de cijfers van het getal onder het wortelteken in paren, beginnend bij de komma. Maak een soort markering (punt, komma, lijn, enz.) tussen paren voor eenvoudig volgen.
In het voorbeeldprobleem worden 6, 45 verdeeld in: 6-, 45-00. Onthoud dat er "resterende" cijfers aan de linkerkant zijn - dit is geen probleem.
Stap 3. Zoek het grootste getal waarvan de kwadratische waarde kleiner is dan of gelijk is aan de eerste groep
Begin met het eerste nummer in de groep aan de linkerkant. Kies het grootste getal waarvan de kwadraatwaarde kleiner of gelijk is aan de groep. Als de groep bijvoorbeeld 37 is, kies dan 6 omdat 62 = 36 < 37 maar 72 = 49 > 37. Schrijf dit getal boven de eerste groep. Dit nummer is het eerste cijfer van uw antwoord.
-
In het voorbeeldprobleem is de eerste groep van 6-, 45-00 6. Het grootste getal dat kleiner is dan of gelijk is aan 6 in het kwadraat is
Stap 2. - 22 = 4. Schrijf het getal "2" boven 6 en de staart is een radicaal.
Stap 4. Vermenigvuldig het getal dat je net hebt opgeschreven, verlaag het en trek het dan af
Neem het eerste cijfer van je antwoord (geschreven boven het wortelteken) en vermenigvuldig dit. Schrijf het antwoord onder de eerste groep en trek het af om het verschil te vinden. Zet de volgende groep rechts van het verschil dat je zojuist hebt berekend neer. Schrijf ten slotte het laatste cijfer van het vermenigvuldigen van het eerste cijfer van uw antwoord aan de linkerkant en laat een lege ruimte aan de rechterkant.
In het voorbeeldprobleem is het getal dat wordt verdubbeld 2 (het eerste cijfer van het vorige antwoord). 2 × 2 = 4. Trek vervolgens 4 bij 6 af (van de eerste groep). 6 - 4 het resultaat is 2. Breng vervolgens de volgende groep (45) naar beneden en we krijgen 245. Schrijf tenslotte het getal 4 weer aan de linkerkant en laat een beetje ruimte aan de rechterkant, zoals dit: 4_
Stap 5. Vul de lege ruimte in
Voeg de cijfers toe aan de rechterkant van het nummer dat u aan de linkerkant hebt geschreven. Kies het cijfer dat de grootste waarde oplevert wanneer vermenigvuldigd met dit nieuwe getal, maar dat nog steeds kleiner is dan of gelijk is aan het "afgeleide getal". Als het “afgeleide getal” bijvoorbeeld 1700 is en het getal aan uw linkerkant is 40_, dan is het getal dat moet worden ingevoerd “4” omdat 404 × 4 = 1616 < 1700, terwijl 405 × 5 = 2025. Het getal gevonden in deze stap is het tweede cijfer van je antwoord, dus schrijf het boven het wortelteken.
-
In het voorbeeldprobleem zoeken we naar het getal naast 4_ × _ waarvan het antwoord het grootste getal is, maar kleiner dan of gelijk aan 245. Het antwoord is
Stap 5.. 45 × 5 = 225, terwijl 46 × 6 = 276.
Stap 6. Blijf de "lege ruimte"-nummers gebruiken om uw antwoord te vinden
Ga door met het lange stapelverdelingspatroon totdat het verschil tussen de aftrekkingen van de afgeleide getallen nul is, of een redelijk nauwkeurig getal is verkregen. Als je klaar bent, vormen de cijfers die je hebt gebruikt om de lege plekken in elke stap in te vullen (plus het allereerste nummer dat je hebt gebruikt) elk cijfer van je antwoord.
-
In het voorbeeldprobleem, trek 245 af van 220 om 20 te krijgen. Vervolgens verlagen we de volgende groep cijfers, 00, en krijgen we 2000. Vermenigvuldig het getal boven het wortelteken en we krijgen 25 × 2 = 50. Om te vullen op de lege plekken bij 50_ × _ =/< 2, 000, krijgen we het getal
Stap 3.. Nu hebben we "253" boven het wortelteken - herhaal dit proces opnieuw en krijg 9 in het volgende cijfer.
Stap 7. Verwijder het decimaalteken van de oorsprong
Om het definitieve antwoord te krijgen, zet u de komma op de juiste plaats. Het is eenvoudig - plaats de komma gewoon in lijn met de komma onder het wortelteken. Het getal onder het wortelteken is bijvoorbeeld 49, 8, dus plaats een decimaalteken tussen de getallen boven 8 en 9.
In het voorbeeldprobleem, als het getal onder het wortelteken 6, 45 is, dan staat de komma in lijn tussen de cijfers 2 en 5. Dit betekent dat het uiteindelijke antwoord is 2, 539.
Deel 3 van 3: Snel onvolmaakte vierkanten schatten
Stap 1. Vind het onvolmaakte vierkant met behulp van benadering
Als je eenmaal perfecte vierkanten hebt onthouden, zal het veel gemakkelijker zijn om imperfecte vierkanten te vinden. De truc is om een perfect vierkant te vinden voor en na het nummer dat je zoekt. Bepaal vervolgens welke van de twee perfecte vierkanten het dichtst bij het getal ligt dat u zoekt.
We willen bijvoorbeeld de vierkantswortel van 40 vinden. Het perfecte vierkantsgetal voor en na 40 is 62 en 72, dat is 36 en 49. Aangezien 40 groter is dan 36 en kleiner dan 49, moet de vierkantswortel van 40 tussen 6 en 7 liggen. Het getal 40 ligt dichter bij 36 dan 49, dus de vierkantswortel van 40 ligt dichter bij 6 Hier zijn een paar stappen om een nauwkeurig antwoord te vinden.
Stap 2. Schat de vierkantswortel tot één cijfer na de komma
Wanneer je twee perfecte kwadraten hebt bepaald voor en na het getal dat je zoekt, is de rest het proces van het vinden van het getal achter de komma dat het dichtst bij het antwoord ligt. Begin met het geschatte getal van één cijfer na de komma. Dit proces blijft zich herhalen totdat u een antwoord krijgt met de nauwkeurigheid die u wilt.
In het voorbeeldprobleem is de redelijke benadering van de vierkantswortel van 40 6, 4, omdat het antwoord hoogstwaarschijnlijk dichter bij 6 dan bij 7 ligt.
Stap 3. Vermenigvuldig uw geschatte aantal met het aantal zelf
Met andere woorden, vierkant uw geschatte aantal. Als je geluk hebt, is het resultaat het nummer in de opgave. Zo niet, blijf dan de getallen na de komma optellen of aftrekken totdat je het vierkant vindt dat het dichtst bij het getal in de opgave ligt.
- Vermenigvuldig 6, 4 bij 6, 4 om 6, 4 × 6, 4 =. te krijgen 40, 96, dat is iets meer dan 40.
- Aangezien het eerste experiment overbodig was, trekt u uw benadering af met één cijfer achter de komma, dat is 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Dit resultaat ligt iets onder het getal in het probleem. Dit betekent dat de vierkantswortel van 40 tussen 6, 3 en 6, 4 ligt. Aangezien 39.69 dichter bij 40 ligt, ligt de vierkantswortel van 40 ook dichter bij 6, 3.
Stap 4. Forward prognoses indien nodig
Gebruik je antwoord als je denkt dat het nauwkeurig genoeg is. Maar als dat niet het geval is, gaat u gewoon door met het bovenstaande geschatte patroon totdat u een antwoord vindt met drie of vier cijfers achter de komma - in ieder geval totdat u het gewenste nauwkeurigheidsniveau bereikt.
