De wortelvorm is een algebraïsche uitspraak met het teken van de vierkantswortel (of derdemachtswortel of hoger). Deze vorm kan vaak twee getallen voorstellen die dezelfde waarde hebben, ook al lijken ze op het eerste gezicht anders (bijvoorbeeld 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1). Daarom hebben we een "standaardformule" nodig voor dit soort formulier. Als er twee uitspraken zijn, beide in de standaardformule, die er verschillend uitzien, zijn ze niet hetzelfde. Wiskundigen zijn het erover eens dat de standaardformulering van de kwadratische vorm aan de volgende vereisten voldoet:
- Vermijd het gebruik van breuken
- Gebruik geen fractionele machten
- Vermijd het gebruik van de wortelvorm in de noemer
- Bevat niet de vermenigvuldiging van twee wortelvormen
- Getallen onder de wortel kunnen niet meer worden geroot
Een praktisch gebruik hiervan is in meerkeuze-examens. Als je een antwoord vindt, maar je antwoord is niet hetzelfde als de beschikbare opties, probeer het dan te vereenvoudigen tot een standaardformule. Aangezien vragenmakers antwoorden meestal in standaardformules schrijven, moet u hetzelfde doen met uw antwoorden zodat ze overeenkomen met die van hen. In open vragen betekenen commando's zoals "vereenvoudig je antwoord" of "vereenvoudig alle wortels" dat studenten de volgende stappen moeten uitvoeren totdat ze voldoen aan de standaardformule zoals hierboven. Deze stap kan ook worden gebruikt om vergelijkingen op te lossen, hoewel sommige soorten vergelijkingen gemakkelijker op te lossen zijn in niet-standaard formules.
Stap
Stap 1. Bekijk indien nodig de regels voor het werken met wortels en exponenten (beide zijn gelijk - wortels zijn machten van breuken) omdat we ze nodig hebben in dit proces
Bekijk ook de regels voor het vereenvoudigen van veeltermen en rationale vormen, aangezien we ze moeten vereenvoudigen.
Methode 1 van 6: Perfecte vierkanten
Stap 1. Vereenvoudig alle wortels met perfecte vierkanten
Een perfect vierkant is het product van een getal op zich, bijvoorbeeld 81, wat een product is van 9 x 9. Om een perfect vierkant te vereenvoudigen, verwijdert u gewoon de vierkantswortel en schrijft u de vierkantswortel van het getal op.
- 121 is bijvoorbeeld een perfect vierkant omdat 11 x 11 gelijk is aan 121. U kunt de wortel (121) dus vereenvoudigen tot 11 door het wortelteken te verwijderen.
- Om deze stap gemakkelijker te maken, moet je de eerste twaalf perfecte vierkanten onthouden: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Stap 2. Vereenvoudig alle wortels met perfecte blokjes
Een perfecte kubus is het product van het tweemaal vermenigvuldigen van een getal met zichzelf, bijvoorbeeld 27, wat het product is van 3 x 3 x 3. Om de wortelvorm van een perfecte kubus te vereenvoudigen, verwijdert u gewoon de vierkantswortel en schrijft u de vierkantswortel op van het nummer.
343 is bijvoorbeeld een perfecte kubus omdat het het product is van 7 x 7 x 7. Dus de derdemachtswortel van 343 is 7
Methode 2 van 6: Breuken naar wortels converteren
Of andersom veranderen (het helpt soms), maar meng ze niet door elkaar in dezelfde instructie als root(5) + 5^(3/2). We nemen aan dat je de wortelvorm wilt gebruiken en we gebruiken de symbolen root(n) voor de vierkantswortel en sqrt^3(n) voor de derdemachtswortel.
Stap 1. Neem één tot de macht van de breuk en converteer het naar de wortelvorm, bijvoorbeeld x^(a/b) = wortel naar de macht b van x^a
Als de vierkantswortel in breukvorm is, converteer deze dan naar de normale vorm. Bijvoorbeeld vierkantswortel (2/3) van 4 = wortel(4)^3 = 2^3 = 8
Stap 2. Zet negatieve exponenten om in breuken, bijvoorbeeld x^-y = 1/x^y
Deze formule is alleen van toepassing op constante en rationale exponenten. Als je te maken hebt met een vorm als 2^x, verander deze dan niet, zelfs als het probleem aangeeft dat x een breuk of een negatief getal kan zijn
Stap 3. Samenvoegen van dezelfde stam en vereenvoudig de resulterende rationale vorm.
Methode 3 van 6: breuken in wortels elimineren
De standaardformule vereist dat de wortel een geheel getal is.
Stap 1. Kijk naar het getal onder de vierkantswortel als er nog een breuk in zit
Indien nog,…
Stap 2. Verander naar een breuk bestaande uit twee wortels met de identiteit root(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)
Gebruik deze identiteit niet als de noemer negatief is, of als het een variabele is die mogelijk negatief is. Vereenvoudig in dit geval eerst de breuk
Stap 3. Vereenvoudig elk perfect vierkant van het resultaat
Dat wil zeggen, converteer sqrt(5/4) naar sqrt(5)/sqrt(4) en vereenvoudig vervolgens naar sqrt(5)/2.
Stap 4. Gebruik andere vereenvoudigingsmethoden, zoals het vereenvoudigen van complexe breuken, het combineren van gelijke termen, enz
Methode 4 van 6: Vermenigvuldigingswortels combineren
Stap 1. Als u de ene wortelvorm met de andere vermenigvuldigt, combineert u de twee in één vierkantswortel met behulp van de formule:
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab). Verander bijvoorbeeld root(2)*root(6) in root(12).
- De bovenstaande identiteit, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab), is geldig als het getal onder het teken van de sqrt niet negatief is. Gebruik deze formule niet als a en b negatief zijn, omdat je de fout maakt om sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1) te maken. Het statement aan de linkerkant is gelijk aan -1 (of niet gedefinieerd als je geen complexe getallen gebruikt), terwijl het statement aan de rechterkant +1 is. Als a en/of b negatief zijn, "verander" dan eerst het teken zoals sqrt(-5) = i*sqrt(5). Als de vorm onder het grondteken een variabele is waarvan het teken uit de context onbekend is of positief of negatief kan zijn, laat het dan voorlopig zoals het is. U kunt de meer algemene identiteit, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) gebruiken die van toepassing is op alle reële getallen a en b, maar meestal helpt deze formule niet veel omdat het de sgn (signum) -functie ingewikkelder maakt.
- Deze identiteit is alleen geldig als de vormen van de wortels dezelfde exponent hebben. U kunt verschillende vierkantswortels zoals sqrt(5)*sqrt^3(7) vermenigvuldigen door ze naar dezelfde vierkantswortel te converteren. Om dit te doen, converteert u tijdelijk de vierkantswortel naar een breuk: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Gebruik vervolgens de vermenigvuldigingsregel om de twee te vermenigvuldigen met de vierkantswortel van 6125.
Methode 5 van 6: De vierkantsfactor uit de wortel verwijderen
Stap 1. Factoring van imperfecte wortels in priemfactoren
Een factor is een getal dat, wanneer vermenigvuldigd met een ander getal, een getal vormt -- 5 en 4 zijn bijvoorbeeld twee factoren van 20. Om onvolmaakte wortels op te splitsen, noteer je alle factoren van het getal (of zoveel mogelijk, als het getal is te groot) totdat je een perfect vierkant hebt gevonden.
Probeer bijvoorbeeld alle factoren van 45 te vinden: 1, 3, 5, 9, 15 en 45. 9 is een factor 45 en is ook een perfect kwadraat (9=3^2). 9x5 = 45
Stap 2. Verwijder alle vermenigvuldigers die perfecte vierkanten zijn vanuit de vierkantswortel
9 is een perfect vierkant omdat het het product is van 3 x 3. Haal de 9 uit de vierkantswortel en vervang deze door 3 voor de vierkantswortel, waarbij 5 binnen de vierkantswortel blijft. Als je 3 terug in de vierkantswortel plaatst, vermenigvuldig je met zichzelf om 9 te maken en als je vermenigvuldigt met 5 geeft het 45 terug. 3 wortels van 5 is een eenvoudige manier om de wortel van 45 uit te drukken.
Dat wil zeggen, sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
Stap 3. Zoek het perfecte vierkant in de variabele
De vierkantswortel van een kwadraat is |a|. U kunt dit vereenvoudigen tot alleen "a" als de bekende variabele positief is. De vierkantswortel van a tot de macht 3 wanneer afgebroken tot de vierkantswortel van a kwadraat keer a -- onthoud dat de exponenten optellen als we twee getallen vermenigvuldigen tot de macht a, dus a kwadraat keer a is gelijk aan a tot de derde macht.
Daarom is een perfect vierkant in de vorm van een kubus een vierkant
Stap 4. Verwijder de variabele met het perfecte vierkant uit de vierkantswortel
Neem nu een kwadraat van de vierkantswortel en verander het in |a|. De eenvoudige vorm van de wortel a tot de macht 3 is |a| wortel een.
Stap 5. Combineer de gelijke termen en vereenvoudig alle wortels van de rekenresultaten
Methode 6 van 6: rationaliseer de noemer
Stap 1. De standaardformule vereist dat de noemer zoveel mogelijk een geheel getal is (of een polynoom als deze een variabele bevat)
-
Als de noemer bestaat uit één term onder het wortelteken, zoals […]/root(5), vermenigvuldig dan zowel de teller als de noemer met die wortel om […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt te krijgen (5) = […]*wortel(5)/5.
Voor derdemachtswortels of hoger, vermenigvuldig met de juiste wortel zodat de noemer rationaal is. Als de noemer wortel^3(5) is, vermenigvuldig dan de teller en de noemer met sqrt^3(5)^2
-
Als de noemer bestaat uit het optellen of aftrekken van twee vierkantswortels, zoals sqrt(2) + sqrt(6), vermenigvuldig dan de kwantor en de noemer met hun conjugaat, wat dezelfde vorm heeft maar met het tegenovergestelde teken. Dan […]/(wortel(2) + wortel(6)) = […](wortel(2)-wortel(6))/(wortel(2) + wortel(6))(wortel(2)-wortel (6)). Gebruik vervolgens de identiteitsformule voor het verschil van twee vierkanten [(a+b)(ab) = a^2-b^2] om de noemer te rationaliseren, om te vereenvoudigen (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2)-sqrt(6)) = sqrt(2)^2 - sqrt(6)^2 = 2-6 = -4.
- Dit geldt ook voor noemers zoals 5 + sqrt(3) omdat alle gehele getallen wortels zijn van andere gehele getallen. [1/(5 + sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5 + sqrt(3))(5-sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5^ 2-sqrt(3)^2) = (5-sqrt(3))/(25-3) = (5-sqrt(3))/22]
- Deze methode is ook van toepassing op het toevoegen van wortels zoals sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7). Als je ze groepeert in (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) en vermenigvuldigt met (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7), is het antwoord niet in rationele vorm, maar nog steeds in a+b*root (30) waar a en b al rationale getallen zijn. Herhaal dan het proces met de vervoegingen a+b*sqrt(30) en (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) zal rationeel zijn. In wezen, als je deze truc kunt gebruiken om één wortelteken in de noemer te verwijderen, kun je het vele malen herhalen om alle wortels te verwijderen.
- Deze methode kan ook worden gebruikt voor noemers die een hogere wortel bevatten, zoals de vierde wortel van 3 of de zevende wortel van 9. Vermenigvuldig de teller en noemer met de conjugaat van de noemer. Helaas kunnen we de vervoeging van de noemer niet direct krijgen en het is moeilijk om dat te doen. We kunnen het antwoord vinden in een algebraboek over getaltheorie, maar daar ga ik niet op in.
Stap 2. Nu is de noemer in rationele vorm, maar de teller ziet er een puinhoop uit
Nu hoef je het alleen nog maar te vermenigvuldigen met de vervoeging van de noemer. Ga je gang en vermenigvuldig zoals we veeltermen zouden vermenigvuldigen. Controleer of er termen kunnen worden weggelaten, vereenvoudigd of gecombineerd, indien mogelijk.
Stap 3. Als de noemer een negatief geheel getal is, vermenigvuldigt u zowel de teller als de noemer met -1 om het positief te maken
Tips
- U kunt online zoeken naar sites die u kunnen helpen rootformulieren te vereenvoudigen. Typ gewoon de vergelijking met het grondteken en nadat u op Enter hebt gedrukt, verschijnt het antwoord.
- Voor eenvoudigere vragen kunt u mogelijk niet alle stappen in dit artikel gebruiken. Voor complexere vragen moet u mogelijk meerdere stappen meer dan één keer gebruiken. Gebruik de "eenvoudige" stappen een paar keer en controleer of uw antwoord past bij de standaard formuleringscriteria die we eerder hebben besproken. Als je antwoord in de standaardformule staat, ben je klaar; maar als dat niet het geval is, kunt u een van de bovenstaande stappen controleren om u te helpen dit voor elkaar te krijgen.
- De meeste verwijzingen naar de "aanbevolen standaardformule" voor de vorm van wortels zijn ook van toepassing op complexe getallen (i = root(-1)). Zelfs als een statement een "i" bevat in plaats van een root, vermijd dan zoveel mogelijk noemers die nog een i bevatten.
- Sommige instructies in dit artikel gaan ervan uit dat alle wortels vierkanten zijn. Dezelfde algemene principes zijn van toepassing op de wortels van hogere machten, hoewel sommige delen (vooral het rationaliseren van de noemer) behoorlijk moeilijk kunnen zijn om mee te werken. Bepaal zelf welke vorm je wilt, zoals sqr^3(4) of sqr^3(2)^2. (Ik weet niet meer welke vorm gewoonlijk in schoolboeken wordt gesuggereerd).
- Sommige instructies in dit artikel gebruiken het woord "standaardformule" om "gewone vorm" te beschrijven. Het verschil is dat de standaardformule alleen de vorm 1+sqrt(2) of sqrt(2)+1 accepteert en de andere vormen als niet-standaard beschouwt; De gewone vorm gaat ervan uit dat u, de lezer, slim genoeg bent om de "overeenkomst" van deze twee getallen te zien, ook al zijn ze schriftelijk niet identiek ('hetzelfde' betekent in hun rekenkundige eigenschap (commutatieve optelling), niet in hun algebraïsche eigenschap (root (2) is de niet-negatieve wortel van x ^ 2-2)). We hopen dat de lezers de lichte onzorgvuldigheid bij het gebruik van deze terminologie zullen begrijpen.
- Als een van de aanwijzingen dubbelzinnig of tegenstrijdig lijkt, voer dan alle stappen uit die ondubbelzinnig en consistent zijn en kies vervolgens de gewenste vorm.
