Factoren met groepering (met afbeeldingen)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-15 08:20

Groeperen is een speciale techniek die wordt gebruikt om polynoomvergelijkingen te ontbinden. Je kunt het gebruiken met kwadratische vergelijkingen en veeltermen die vier termen hebben. De twee methoden zijn bijna hetzelfde, maar iets anders.

Stap

Methode 1 van 2: Kwadratische vergelijking

Stap 1. Bekijk de vergelijking

Als u van plan bent deze methode te gebruiken, moet de vergelijking de basisvorm hebben: ax² + bx + c

• Dit proces wordt meestal gebruikt wanneer de leidende coëfficiënt (een term) een ander getal is dan "1", maar het kan ook worden gebruikt voor kwadratische vergelijkingen waarbij a = 1.
• Voorbeeld: 2x² + 9x + 10

Stap 2. Zoek het hoofdproduct van

Vermenigvuldig de termen a en c. Het product van deze twee termen wordt het hoofdproduct genoemd.

• Voorbeeld: 2x² + 9x + 10

  • een = 2; c = 10
  • a * c = 2 * 10 = 20

Stap 3. Scheid het product in zijn factorparen

Noteer de factoren van uw hoofdproduct door ze te scheiden in paren van gehele getallen (de paren die nodig zijn om het hoofdproduct te krijgen).

• Voorbeeld: De factoren van 20 zijn: 1, 2, 4, 5, 10, 20

  Geschreven in paren van factoren: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

Stap 4. Zoek een factorenpaar met een som gelijk aan b

Kijk in de factorparen en bepaal het paar dat de b-term - de mediaanterm en de x-coëfficiënt - geeft als ze bij elkaar worden opgeteld.

• Als uw hoofdproduct negatief is, moet u een paar factoren vinden die gelijk zijn aan de term b wanneer ze van elkaar worden afgetrokken.

• Voorbeeld: 2x² + 9x + 10

  • b = 9
  • 1 + 20 = 21; dit is niet het juiste koppel
  • 2 + 10 = 12; dit is niet het juiste koppel
  • 4 + 5 = 9; dit is echte partner

Stap 5. Splits de middellange termijn in twee factoren

Herschrijf de middelste term door deze te scheiden in de factorparen waarnaar eerder is gezocht. Zorg ervoor dat u het juiste teken invoert (plus of min).

• Merk op dat de volgorde van de middelste termen niet belangrijk is voor dit probleem. Ongeacht de volgorde van de termen die u schrijft, het resultaat zal hetzelfde zijn.
• Voorbeeld: 2x² + 9x + 10 = 2x² + 5x + 4x + 10

Stap 6. Groepeer de stammen om paren te vormen

Groepeer de eerste twee termen in één paar en de tweede twee termen in één paar.

Voorbeeld: 2x² + 5x + 4x + 10 = (2x² + 5x) + (4x + 10)

Stap 7. Factor elk paar

Vind de gemeenschappelijke factoren van het paar en factor ze uit. Herschrijf de vergelijking correct.

Voorbeeld: x(2x + 5) + 2(2x + 5)

Stap 8. Factor de gelijke haakjes uit

Er moeten dezelfde binominale haakjes tussen de twee helften staan. Factor deze haakjes uit en plaats de andere termen tussen de andere haakjes.

Voorbeeld: (2x + 5)(x + 2)

Stap 9. Schrijf je antwoorden op

Nu heb je je antwoord.

• Voorbeeld: 2x² + 9x + 10 = (2x + 5)(x + 2)

  Het uiteindelijke antwoord is: (2x + 5)(x + 2)

Aanvullende voorbeelden

Stap 1. Factor:

4x² - 3x - 10

• a * c = 4 * -10 = -40
• Factoren van 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
• Het juiste paar factoren: (5, 8); 5 - 8 = -3
• 4x² - 8x + 5x - 10
• (4x² - 8x) + (5x - 10)
• 4x(x - 2) + 5(x - 2)
• (x - 2)(4x + 5)

Stap 2. Factor:

8x² + 2x - 3

• a * c = 8 * -3 = -24
• Factor van 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
• Het juiste paar factoren: (4, 6); 6 - 4 = 2
• 8x² + 6x - 4x - 3
• (8x² + 6x) - (4x + 3)
• 2x(4x + 3) - 1(4x + 3)
• (4x + 3) (2x - 1)

Methode 2 van 2: Veeltermen met vier termen

Stap 1. Bekijk de vergelijking

De vergelijking moet vier afzonderlijke termen hebben. De vorm van de vier stammen kan echter variëren.

• Meestal gebruikt u deze methode als u een polynoomvergelijking ziet die er als volgt uitziet: ax³ + bx² + cx + d

• De vergelijking kan er ook als volgt uitzien:

  • axy + door + cx + d
  • bijl² + bx + cxy + dy
  • bijl⁴ + bx³ + cx² + dx
  • Of bijna dezelfde variant.
• Voorbeeld: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

Stap 2. Bereken de grootste gemene deler (GCF)

Bepaal of de vier termen iets gemeen hebben. De grootste gemene deler van de vier termen, als een van de factoren gemeenschappelijk is, moet uit de vergelijking worden weggelaten.

• Als het enige wat de vier termen gemeen hebben het getal "1" is, dan heeft die term geen GCF en kan er bij deze stap niets worden weggelaten.
• Wanneer u de GCF buiten beschouwing laat, zorg er dan voor dat u de GCF vooraan in uw vergelijking blijft schrijven terwijl u werkt. Deze out-factored GCF moet worden opgenomen als onderdeel van uw definitieve antwoord om uw antwoord correct te laten zijn.

• Voorbeeld: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

  • Elke term is gelijk aan 2x, dus dit probleem kan worden herschreven als:
  • 2x(2x³ + 6x² +3x+9)

Stap 3. Maak kleinere groepen in de opgave

Groepeer de eerste twee termen en de tweede twee termen.

• Als er voor de eerste term van de tweede groep een minteken staat, moet je het minteken voor het tweede haakje plaatsen. Je moet het teken van de tweede term in de tweede groep veranderen om het te matchen.
• Voorbeeld: 2x(2x³ + 6x² + 3x + 9) = 2x[(2x³ + 6x²) + (3x + 9)]

Stap 4. Bereken de GCF van elke binomiaal

Identificeer de GCF in elk binomiaal paar en factoriseer de GCF als buiten het paar. Herschrijf deze vergelijking correct.

• Bij deze stap kunt u voor de keuze staan om positieve of negatieve getallen voor de tweede groep weg te werken. Kijk naar de tekens voor de tweede en vierde termen.

  • Als beide tekens hetzelfde zijn (zowel positief als beide negatief), moet u een positief getal wegcijferen.
  • Als de twee tekens verschillend zijn (een negatief en een positief), moet u een negatief getal weglaten.
• Voorbeeld: 2x[(2x³ + 6x²) + (3x + 9)] = 2x²[2x²(x + 3) + 3(x + 3)]

Stap 5. Factor dezelfde binomiaal uit

De binominale paren tussen beide haakjes moeten hetzelfde zijn. Haal dit paar uit de vergelijking en groepeer de resterende termen in andere haakjes.

• Als de binomialen tussen haakjes niet overeenkomen, controleert u uw werk nogmaals of probeert u uw termen te herschikken en de vergelijking opnieuw te groeperen.
• Alle haakjes moeten hetzelfde zijn. Als ze niet hetzelfde zijn, wordt er geen rekening gehouden met het probleem door groepering of andere methoden, zelfs niet als u een methode probeert.
• Voorbeeld: 2x²[2x²(x + 3) + 3(x + 3)] = 2x²[(x + 3)(2x² + 3)]

Stap 6. Schrijf je antwoorden op

Bij deze stap heb je je antwoord.

• Voorbeeld: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x = 2x²(x + 3)(2x² + 3)

  Het uiteindelijke antwoord is: 2x²(x + 3)(2x² + 3)

Aanvullende voorbeelden

Stap 1. Factor:

6x² + 2xy - 24x - 8y

• 2[3x² +xj - 12x - 4j]
• 2[(3x² +xj) - (12x + 4j)]
• 2[x(3x + y) - 4(3x + y)]
• 2[(3x + y)(x - 4)]
• 2(3x + j)(x – 4)

Stap 2. Factor:

x³ - 2x² + 5x - 10

• (x³ - 2x²) + (5x - 10)
• x²(x - 2) + 5 (x - 2)
• (x - 2)(x² + 5)