De determinant van matrices wordt vaak gebruikt in calculus, lineaire algebra en geometrie op een hoger niveau. Buiten de academische wereld gebruiken computergraphics-ingenieurs en -programmeurs voortdurend matrices en hun determinanten. Als je al weet hoe je de determinant van een matrix in de orde van 2x2 moet bepalen, hoef je alleen maar te leren wanneer je optellen, aftrekken en tijden moet gebruiken om de determinant van een matrix van orde 3x3 te bepalen.
Stap
Deel 1 van 2: Determinanten bepalen
Schrijf uw 3 x 3 ordematrix. We beginnen met een matrix A van orde 3x3 en proberen de determinant |A| te vinden. Hieronder staat de algemene vorm van matrixnotatie die we zullen gebruiken en een voorbeeld van onze matrix:
| een11 | een12 | een13 | 1 | 5 | 3 | |||
| m | = | een21 | een22 | een23 | = | 2 | 4 | 7 |
| een31 | een32 | een33 | 4 | 6 | 2 |
Stap 1. Selecteer een rij of kolom
Maak uw selectie de referentierij of -kolom. Wat je ook kiest, je krijgt nog steeds hetzelfde antwoord. Selecteer tijdelijk de eerste rij. In het volgende gedeelte geven we u enkele suggesties voor het kiezen van de gemakkelijkst te berekenen optie.
Selecteer de eerste rij van de voorbeeldmatrix A. Omcirkel het getal 1 5 3. Omcirkel in de gewone notatie a11 een12 een13.
Stap 2. Streep de rij en kolom van je eerste element door
Kijk naar de rij of kolom die je hebt omcirkeld en selecteer het eerste element. Streep de rijen en kolommen door. Er zullen slechts 4 nummers onaangeroerd blijven. Maak van deze 4 getallen een matrix van 2 x 2 orde.
- In ons voorbeeld is onze referentierij 1 5 3. Het eerste element staat in de 1e rij en 1e kolom. Streep de gehele 1e rij en 1e kolom door. Schrijf de overige elementen in een 2 x 2 matrix:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Stap 3. Bepaal de determinant van de 2 x 2 orde matrix
Onthoud, bepaal de determinant van de matrix [eenC BNS] door advertentie - bc. Je hebt misschien ook geleerd om de determinant van een matrix te bepalen door een X te tekenen tussen een matrix van 2 x 2. Vermenigvuldig de twee getallen verbonden door de lijn / van X. Trek vervolgens het aantal keren af dat de twee getallen verbonden door de lijn / zijn. Gebruik deze formule om de determinant van een 2 x 2 matrix te berekenen.
- In het voorbeeld is de determinant van de matrix [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Deze determinant heet minderjarige van de elementen die u in de initiële matrix hebt geselecteerd. In dit geval hebben we zojuist de minor van a. gevonden11.
Stap 4. Vermenigvuldig het gevonden getal met het geselecteerde element
Onthoud dat u elementen uit de referentierij (of kolom) hebt geselecteerd toen u besloot welke rijen en kolommen u wilt doorhalen. Vermenigvuldig dit element met de determinant van de 2 x 2 matrix die je hebt gevonden.
In het voorbeeld kiezen we a11 dat is 1. Vermenigvuldig dit getal met -34 (de determinant van de 2 x 2 matrix) om 1*-34 = te krijgen - 34.
Stap 5. Bepaal het symbool van je antwoord
De volgende stap is dat je je antwoord met 1 of -1 moet vermenigvuldigen om cofactor van het element dat u hebt geselecteerd. Het symbool dat u gebruikt, hangt af van waar de elementen zich bevinden in de matrix van 3 x 3. Onthoud dat deze symbolentabel wordt gebruikt om de vermenigvuldiger van uw element te bepalen:
- + - +
- - + -
- + - +
- Omdat we kiezen voor een11 dat is gemarkeerd met een +, vermenigvuldigen we het getal met +1 (of met andere woorden, verander het niet). Het antwoord dat verschijnt zal hetzelfde zijn, namelijk: - 34.
- Een andere manier om een symbool te definiëren is door de formule (-1) te gebruiken i+j waarbij i en j rij- en kolomelementen zijn.
Stap 6. Herhaal dit proces voor het tweede element in uw referentierij of -kolom
Keer terug naar de oorspronkelijke 3 x 3 matrix waarin u eerder de rij of kolom hebt omcirkeld. Herhaal hetzelfde proces met het element:
-
Doorstreep de rij en kolom van het element.
Selecteer in dit geval het element a12 (wat 5 waard is). Streep de 1e rij (1 5 3) en de 2e kolom (5 4 6) door.
-
Verander de overige elementen in een 2x2 matrix.
In ons voorbeeld is de 2x2 ordematrix voor het tweede element [24 72].
-
Bepaal de determinant van deze 2x2 matrix.
Gebruik de ad - bc formule. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Vermenigvuldig met de elementen van de door u gekozen 3x3 matrix.
-24 * 5 = -120
-
Bepaal of u het bovenstaande resultaat met -1 wilt vermenigvuldigen of niet.
Gebruik een tabel met symbolen of formules (-1)ij. Selecteer element a12 gesymboliseerd – in de symbolentabel. Vervang ons antwoordsymbool door: (-1)*(-120) = 120.
Stap 7. Herhaal hetzelfde proces voor het derde element
Je hebt nog een cofactor om de determinant te bepalen. Tel i voor het derde element in uw referentierij of -kolom. Hier is een snelle manier om de cofactor a. te berekenen13 in ons voorbeeld:
- Doorstreep de 1e rij en de 3e kolom om [24 46].
- De determinant is 2*6 - 4*4 = -4.
- Vermenigvuldigen met element a13: -4 * 3 = -12.
- Element a13 symbool + in de symbolentabel, dus het antwoord is - 12.
Stap 8. Tel de resultaten van je drie tellingen bij elkaar op
Dit is de laatste stap. Je hebt drie cofactoren berekend, één voor elk element in een rij of kolom. Tel die resultaten bij elkaar op en je vindt de determinant van een 3 x 3 matrix.
In het voorbeeld is de determinant van de matrix - 34 + 120 + - 12 = 74.
Deel 2 van 2: Probleemoplossing eenvoudiger maken
Stap 1. Selecteer de rij of kolom met verwijzingen met de meeste nullen
Onthoud dat u elke gewenste rij of kolom kunt selecteren. Wat je ook kiest, het antwoord zal hetzelfde zijn. Als u een rij of kolom selecteert met het cijfer 0, hoeft u alleen de cofactor te berekenen met elementen die niet 0 zijn omdat:
- Selecteer bijvoorbeeld de 2e rij met het element a21, een22, fonds23. Om dit probleem op te lossen, zullen we 3 verschillende 2 x 2 matrices gebruiken, laten we zeggen A21, EEN22, Jij23.
- De determinant van de 3x3 matrix is a21|A21| - een22|A22| + a23|A23|.
- Als een22 fonds23 waarde 0, de bestaande formule is a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = een21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|. Daarom zullen we slechts de cofactor van slechts één element berekenen.
Stap 2. Gebruik extra rijen om matrixproblemen gemakkelijker te maken
Als je de waarden uit de ene rij neemt en aan een andere rij toevoegt, verandert de determinant van de matrix niet. Hetzelfde geldt voor kolommen. Je kunt dit herhaaldelijk doen of vermenigvuldigen met een constante voordat je deze toevoegt om zoveel mogelijk nullen in de matrix te krijgen. Dit kan veel tijd besparen.
- U hebt bijvoorbeeld een matrix met 3 rijen: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Om het getal 9 te elimineren dat in positie a. staat11, kunt u de waarde in de 2e rij vermenigvuldigen met -3 en het resultaat toevoegen aan de eerste rij. Nu is de nieuwe eerste regel [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- De nieuwe matrix heeft rijen [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Gebruik dezelfde truc op kolommen om a. te maken12 wees het getal 0.
Stap 3. Gebruik de snelle methode voor driehoekige matrices
In dit speciale geval is de determinant het product van de elementen op de hoofddiagonaal, van a11 linksboven naar a33 rechtsonder in de matrix. Deze matrix is nog steeds een 3x3 matrix, maar de "driehoek" matrix heeft een speciaal patroon van getallen die niet 0 zijn:
- Bovenste driehoekige matrix: Alle elementen die niet 0 zijn, bevinden zich op of boven de hoofddiagonaal. Alle getallen onder de hoofddiagonaal zijn 0.
- Onderste driehoekige matrix: Alle elementen die niet 0 zijn, bevinden zich op of onder de hoofddiagonaal.
- Diagonale matrix: Alle elementen die niet 0 zijn, bevinden zich op de hoofddiagonaal (de subset van de bovenstaande typen matrices).
Tips
- Als alle elementen in een rij of kolom 0 zijn, is de determinant van de matrix 0.
- Deze methode kan worden gebruikt voor alle groottes van kwadratische matrices. Als u deze methode bijvoorbeeld gebruikt voor een matrix van orde 4x4, zal uw "strike" een matrix van orde 3x3 achterlaten waarvan de determinant kan worden bepaald door de bovenstaande stappen te volgen. Denk eraan, dit kan saai zijn!
