Algebra leren (met afbeeldingen)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-16 19:48

Het beheersen van algebra is essentieel om door te gaan met bijna elk type wiskunde, zowel op de basisschool als op de middelbare school. Elk wiskundeniveau heeft een basis, dus elk wiskundeniveau is erg belangrijk. Maar zelfs de meest elementaire algebraïsche vaardigheden kunnen voor beginners moeilijk te begrijpen zijn als ze ze voor het eerst tegenkomen. Als je problemen hebt met elementaire algebra-onderwerpen, maak je geen zorgen - met een beetje extra uitleg, een paar eenvoudige voorbeelden en een paar tips om je vaardigheden te verbeteren, zul je algebraproblemen snel oplossen als een professional.

Stap

Deel 1 van 5: De basisregels van algebra leren

Stap 1. Bekijk uw basis wiskundige bewerkingen

Om algebra te leren, moet je elementaire wiskundige vaardigheden kennen, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Deze wiskunde op de basisschool/basisschool is erg belangrijk voordat je algebra gaat studeren. Als je deze vaardigheden niet onder de knie hebt, zal het moeilijk zijn om de meer complexe concepten die in de algebra worden onderwezen, te voltooien. Als je een opfriscursus nodig hebt voor deze bewerkingen, probeer dan ons artikel over elementaire wiskundige vaardigheden.

Je hoeft niet goed te zijn in het uitvoeren van deze basisbewerkingen in je hoofd om algebraproblemen op te lossen. Bij veel algebraklassen kunt u een rekenmachine gebruiken om tijd te besparen bij het uitvoeren van deze eenvoudige bewerkingen. U moet echter op zijn minst weten hoe u deze bewerkingen zonder rekenmachine moet uitvoeren als u geen rekenmachine mag gebruiken

Stap 2. Ken de volgorde van bewerkingen

Een van de meest lastige dingen over het oplossen van algebraïsche vergelijkingen als beginner, is weten in welke volgorde ze beginnen. Gelukkig is er een bepaalde volgorde om deze problemen op te lossen: voer eerst een wiskundige bewerking tussen haakjes uit, voer dan de exponenten uit, vermenigvuldig dan, deel, tel dan op en trek ten slotte af. Een handig middel om de volgorde van deze bewerkingen te onthouden, zijn de acroniemen KPKBJK. Lees hier hoe u de volgorde van bewerkingen toepast. Samengevat is de volgorde van bewerkingen:

Kmislukking
Plift/exponent
Kali
Bopnieuw
Jumlah
Kgarnaal
De volgorde van bewerkingen is belangrijk in de algebra omdat het uitvoeren van de bewerkingen in een algebraprobleem in de verkeerde volgorde soms het antwoord kan beïnvloeden. Als we bijvoorbeeld het rekenprobleem 8 + 2 × 5 doen, als we eerst 2 en 8 optellen, krijgen we 10 × 5 = 50, maar als we eerst 2 en 5 vermenigvuldigen, krijgen we 8 + 10 =

Stap 18.. Alleen het tweede antwoord is juist.

Stap 3. Weet hoe je negatieve getallen moet gebruiken

In de algebra is het gebruik van negatieve getallen heel gewoon. Het is dus een goed idee om te bekijken hoe u negatieve getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voordat u begint met het leren van algebra. Hier zijn enkele basisprincipes van negatieve getallen om te onthouden - bekijk voor meer informatie onze artikelen over het optellen en aftrekken van negatieve getallen en het delen en vermenigvuldigen van negatieve getallen.

Op een getallenlijn is de negatieve versie van een getal op dezelfde afstand van nul als het positieve getal van nul, maar in de tegenovergestelde richting.
Door twee negatieve getallen toe te voegen, wordt het getal nog negatiever (met andere woorden, het cijfer zal groter zijn, maar omdat het getal negatief is, zal de waarde kleiner zijn)
Twee mintekens heffen elkaar op - een negatief getal aftrekken is hetzelfde als een positief getal optellen
Vermenigvuldigen of delen van twee negatieve getallen geeft een positief antwoord.
Vermenigvuldigen of delen van een positief getal en een negatief getal geeft een negatief antwoord.

Stap 4. Weet hoe je lange vragen moet structureren

Terwijl eenvoudige algebraproblemen gemakkelijk kunnen worden opgelost, kunnen complexere problemen veel stappen vergen. Om fouten te voorkomen, houdt u uw werk georganiseerd door elke keer dat u een stap zet om uw probleem op te lossen, een nieuwe regel te beginnen. Als je met een tweezijdige vergelijking werkt, probeer dan alle gelijktekens (“=”) onder de andere gelijktekens te schrijven. Op deze manier is het gemakkelijker om het te vinden en te corrigeren als u ergens een fout maakt.

Om bijvoorbeeld de vergelijking 9/3 - 5 + 3 × 4 op te lossen, kunnen we ons probleem als volgt structureren:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

Stap 10.

Deel 2 van 5: De variabelen begrijpen

Stap 1. Zoek naar symbolen die geen cijfers zijn

In algebra zul je letters en symbolen zien verschijnen in je wiskundige problemen, niet alleen cijfers. Deze letters en symbolen worden variabelen genoemd. Variabelen zijn niet zo verwarrend als ze op het eerste gezicht lijken - ze zijn slechts een manier om getallen met onbekende waarden op te schrijven. Hieronder staan enkele veelvoorkomende voorbeelden van variabelen in de algebra:

Letters zoals x, y, z, a, b en c
Griekse letters zoals theta of
Merk op dat niet alle symbolen onbekende variabelen zijn. Bijvoorbeeld, pi, of, is altijd gelijk aan ongeveer 3,1459.

Stap 2. Beschouw variabelen als "onbekende" getallen

Zoals hierboven vermeld, zijn variabelen in feite gewoon getallen met onbekende waarden. Gewoonlijk is je doel bij algebraproblemen om de waarde van een variabele te achterhalen - beschouw de variabele als het 'mysterieuze getal' dat je probeert te vinden.

In de vergelijking 2x + 3 = 11 is x bijvoorbeeld onze variabele. Dit betekent dat er verschillende waarden zijn die de plaats van x innemen om de linkerkant van de vergelijking gelijk te maken aan 11. Aangezien 2 × 4 + 3 = 11, in dit geval, x =

Stap 4..
Een gemakkelijke manier om variabelen te begrijpen, is door ze te vervangen door vraagtekens in algebraproblemen. We kunnen bijvoorbeeld de vergelijking 2 + 3 + x = 9 herschrijven tot 2 + 3 +?

= 9. Dit maakt het voor ons gemakkelijker om de dingen te begrijpen die we proberen te doen - we hoeven alleen de waarde te vinden die moet worden toegevoegd aan 2 + 3 = 5 om 9 te krijgen. Nogmaals, natuurlijk is het antwoord

Stap 4..

Stap 3. Als een variabele meer dan één keer voorkomt, vereenvoudigt u de variabele

Wat doe je als dezelfde variabele meer dan eens in een vergelijking voorkomt? Hoewel deze situatie misschien moeilijk op te lossen lijkt, kunt u variabelen eigenlijk behandelen zoals u normale getallen zou behandelen - met andere woorden, u kunt ze optellen, aftrekken, enzovoort, zolang u alleen gelijkaardige variabelen combineert. Met andere woorden, x + x = 2x, maar x + y is niet gelijk aan 2xy.

Laten we bijvoorbeeld kijken naar de vergelijking 2x + 1x = 9. In dit probleem kunnen we 2x en 1x optellen om 3x = 9 te krijgen. Aangezien 3 x 3 = 9, weten we dat x =

Stap 3..
Merk nogmaals op dat u alleen dezelfde variabelen bij elkaar kunt optellen. In de vergelijking 2x + 1y = 9, kunnen we 2x en 1y niet combineren omdat het verschillende variabelen zijn.
Dit geldt ook als de ene variabele een andere exponent heeft dan de andere variabele. Bijvoorbeeld, in de vergelijking 2x + 3x² = 10, we kunnen 2x en 3x. niet combineren² omdat de variabele x een andere exponent heeft. Zie hoe u exponenten kunt toevoegen voor meer informatie.

Deel 3 van 5: Leren hoe je vergelijkingen kunt oplossen door te "ontkennen"

Stap 1. Probeer de variabelen in de algebraïsche vergelijkingen te isoleren

Het oplossen van vergelijkingen in de algebra betekent meestal dat je de waarde van de variabele moet achterhalen. Algebraïsche vergelijkingen zijn meestal samengesteld uit getallen en/of variabelen aan beide kanten, zoals deze: x + 2 = 9 × 4. Om de waarde van de variabele te vinden, moet je de variabele aan één kant van het isgelijkteken isoleren. Wat er aan de andere kant van het isgelijkteken overblijft, is jouw antwoord.

In het voorbeeld (x + 2 = 9 × 4), om x aan de linkerkant van de vergelijking te isoleren, moeten we "+ 2" elimineren. Om dit te doen, hoeven we alleen 2 van die kant af te trekken, waardoor we x = 9 × 4 overhouden. Om beide kanten van de vergelijking echter gelijk te houden, moeten we ook 2 van de andere kant aftrekken. Dit laat ons achter met x = 9 × 4 – 2. In de volgorde van de bewerkingen vermenigvuldigen we eerst, dan trekken we af, wat ons antwoord x = = 36 - 2 = geeft. 34.

Stap 2. Elimineer optellen door aftrekken (en vice versa)

Zoals we hierboven zagen, betekent het isoleren van x aan één kant van het isgelijkteken meestal dat de getallen ernaast worden geëlimineerd. Om dit te doen, voeren we de "omgekeerde" bewerking uit aan beide zijden van de vergelijking. Bijvoorbeeld, in de vergelijking x + 3 = 0, aangezien we "+ 3" zien na onze x, zullen we "-3" aan beide kanten plaatsen. "+3" en "-3", waarbij x alleen blijft en "-3" aan de andere kant van het isgelijkteken, zoals dit: x = -3.

Over het algemeen zijn optellen en aftrekken als "omkeringen" - bereken de ene bewerking om de andere weg te gooien. Zie onder:

Voor optellen, aftrekken. Voorbeeld: x + 9 = 3 → x = 3 - 9

Voor aftrekken, optellen. Voorbeeld: x - 4 = 20 → x = 20 + 4

Stap 3. Elimineer vermenigvuldiging door deling (en vice versa)

Vermenigvuldigen en delen is iets moeilijker om mee te werken dan optellen en aftrekken, maar deze berekeningen hebben dezelfde "omgekeerde" relatie. Als je "× 3" aan één kant ziet, negeer je het door beide kanten te delen door 3, enzovoort.

Bij vermenigvuldigen en delen moet je de omgekeerde bewerking uitvoeren voor alle getallen die aan de andere kant van het isgelijkteken staan, zelfs als die kant meer dan één getal bevat. Zie onder:

Voor vermenigvuldigen, delen. Voorbeeld: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2) /6

Vermenigvuldigen voor delen. Voorbeeld: x/5 = 25 → x = 25 × 5

Stap 4. Verwijder de exponent door de wortel te vinden (en vice versa)

Exponenten is een redelijk geavanceerd pre-algebra-onderwerp - als je niet weet hoe je het moet doen, bekijk dan ons artikel over basis exponentiëlen voor meer informatie. Het "omgekeerde" van een exponent is een wortel die hetzelfde nummer heeft als de exponent. Bijvoorbeeld het omgekeerde van de exponent ² is de vierkantswortel (√), het omgekeerde van de exponent ³ is de derdemachtswortel (³), enzovoort.

Dit is misschien een beetje verwarrend, maar in deze gevallen zoekt u naar de wortels van beide kanten wanneer u met een exponent werkt. Met andere woorden, je doet de machtsverheffing voor beide kanten wanneer je met de wortel werkt. Zie onder:

Zoek de wortel voor de exponent. Voorbeeld: x² = 49 → x = √49

Voor wortels, verhoog. Voorbeeld: x = 12 → x = 12²

Deel 4 van 5: Verbeter je algebravaardigheden

Stap 1. Gebruik afbeeldingen om de vragen duidelijker te maken

Als je moeite hebt om je een algebraprobleem voor te stellen, probeer dan een diagram of afbeelding te gebruiken om je vergelijking te illustreren. Je kunt zelfs proberen een aantal fysieke objecten (zoals blokken of munten) te gebruiken als je die hebt.

Laten we bijvoorbeeld de vergelijking x + 2 = 3 oplossen met behulp van het kwadraat (☐)

x +2 = 3

☒+☐☐ =☐☐☐

In deze stap zullen we 2 van beide kanten aftrekken door 2 vierkanten (☐☐) aan beide kanten te verwijderen:

☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐

=☐, of x =

Stap 1.
Laten we als een ander voorbeeld 2x = 4. proberen

☒☒ =☐☐☐☐

In deze stap verdelen we de twee zijden door de vakken aan elke zijde in twee groepen te verdelen:

☒|☒ =☐☐|☐☐

=, of x =

Stap 2.

Stap 2. Gebruik "gezond verstand checks" (vooral voor verhaalvragen)

Probeer bij het converteren van verhaalproblemen naar algebra uw formules te controleren door eenvoudige waarden voor uw variabelen in te voeren. Klopt je vergelijking als x=0? Wanneer x=1? Wanneer x= -1? Het is gemakkelijk om de simpele fout te maken om p=6d te schrijven als je p=d/6 bedoelt, maar deze dingen zullen gemakkelijk te herkennen zijn als je je werk snel en met gezond verstand controleert voordat je verder gaat.

Zo wordt ons verteld dat een voetbalveld 30 meter langer is dan breed. We gebruiken de vergelijking p = l + 30 om dit probleem weer te geven. We kunnen controleren of deze vergelijking klopt door eenvoudige waarden in te voeren voor l. Als het veld bijvoorbeeld een breedte heeft van l = 10 m, is de lengte 10 + 30 = 40 m. Als de breedte 30 m is, is de lengte 30 + 30 = 60 m, enzovoort. Deze vergelijking is logisch - we verwachten dat dit veld een grotere lengte heeft naarmate de breedte groter wordt, dus deze vergelijking is logisch

Stap 3. Merk op dat antwoorden in de algebra niet altijd gehele getallen zijn

Antwoorden in algebra en andere geavanceerde vormen zijn niet altijd eenvoudige, ronde getallen. Dit getal kan een decimaal, fractioneel of irrationeel getal zijn. Een rekenmachine kan je helpen bij het vinden van deze complexe antwoorden, maar houd er rekening mee dat je leraar je mogelijk kan vragen om je antwoorden in exacte vorm te schrijven, niet in ingewikkelde decimale vorm.

We zullen bijvoorbeeld een algebraïsche vergelijking vereenvoudigen tot x = 1250⁷. Als we 1250. typen⁷ in de rekenmachine zullen we heel veel decimalen krijgen (bovendien, omdat het rekenmachinescherm niet erg groot is, kan de rekenmachine niet alle antwoorden weergeven.) In dit geval willen we ons antwoord misschien opschrijven als slechts 1250⁷ of vereenvoudig het antwoord door het in wetenschappelijke notatie te schrijven.

Stap 4. Als je vertrouwd bent met elementaire algebra, probeer dan factoring

Een van de meest complexe algebraïsche vaardigheden van allemaal is factoring - een soort snelkoppeling om complexe vergelijkingen om te zetten in eenvoudigere vormen. Factoring is een semi-geavanceerd algebra-onderwerp, dus overweeg het hierboven gelinkte artikel te raadplegen als je problemen hebt om het onder de knie te krijgen. Hieronder staan een paar snelle tips voor het ontbinden van vergelijkingen:

De vergelijking van de vorm ax + ba wordt verwerkt in a(x + b). Voorbeeld: 2x + 4 = 2(x + 2)
Vergelijking van de vorm ax² + bx wordt ontbonden in cx((a/c)x + (b/c)) waarbij c het grootste getal is dat a en b gelijkmatig kan verdelen. Voorbeeld: 3y² + 12j = 3j(j + 4)
Vergelijking van de vorm x² + bx + c wordt verwerkt in (x + y)(x + z) waarbij y × z = c en yx + zx = bx. Voorbeeld: x² + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).

Stap 5. Oefenen, oefenen en oefenen

Vooruitgang in algebra (en andere soorten wiskunde) vereist veel hard werken en herhaling. Maak je geen zorgen - door op te letten in de klas, al je opdrachten te doen en hulp te zoeken bij je leraar of andere studenten wanneer je het nodig hebt, zal algebra een gewoonte worden.

Stap 6. Vraag je leraar om je te helpen complexe algebraïsche onderwerpen te begrijpen

Als je problemen hebt met het begrijpen van algebra, maak je geen zorgen - je hoeft het niet alleen te leren. Je docent is de eerste persoon bij wie je terecht kunt voor vragen. Vraag na de les beleefd om hulp aan je leraar. Een goede leraar is meestal bereid om het onderwerp van de dag opnieuw uit te leggen in een naschoolse bijeenkomst en je leraar kan je misschien extra oefenmateriaal geven.

Als je docent je om wat voor reden dan ook niet kan helpen, vraag hem of haar dan naar aanvullende studiemogelijkheden op jouw school. Veel scholen hebben een soort naschools programma dat je kan helpen de extra tijd en aandacht te krijgen die je nodig hebt om je algebra onder de knie te krijgen. Onthoud dat het gebruik van de gratis hulp die voor u beschikbaar is niets is om u voor te schamen - het is een teken dat u slim genoeg bent om uw probleem op te lossen

Deel 5 van 5: Intermediaire onderwerpen verkennen

Stap 1. Leer hoe u de x/y-vergelijking kunt tekenen

Grafieken kunnen een waardevol hulpmiddel zijn in de algebra, omdat u hiermee ideeën kunt presenteren waarvoor getallen nodig zijn in de vorm van gemakkelijk te begrijpen afbeeldingen. In de beginnersalgebra zijn grafische problemen doorgaans beperkt tot vergelijkingen met twee variabelen (meestal x en y) en worden ze weergegeven in eenvoudige 2D-grafieken met een x-as en een y-as. Met deze vergelijkingen hoeft u alleen maar een waarde voor x in te voeren en vervolgens naar y te zoeken (of omgekeerd) om twee getallen te krijgen die een punt op de grafiek worden.

Bijvoorbeeld, in de vergelijking y = 3x, als we 2 invoeren voor x, krijgen we y = 6. Dit betekent dat het punt (2, 6) (twee stappen naar rechts vanaf het midden van de grafiek en zes stappen omhoog vanaf het midden van de grafiek) maakt deel uit van de grafiek van deze vergelijking.
Vergelijkingen van de vorm y = mx + b (waarbij m en b getallen zijn) komen veel voor in de basisalgebra. Deze vergelijkingen hebben altijd een helling of helling m en snijden de y-as bij y = b.

Stap 2. Leer hoe u ongelijkheden kunt oplossen

Wat doe je als je vergelijking geen gelijkteken heeft? Blijkt, niet te veel anders dan wat je gewoonlijk doet. Voor ongelijkheden, die tekens als > ("groter dan") en < ("kleiner dan") gebruiken, lost u gewoon op zoals gewoonlijk. U laat een antwoord achter dat kleiner of groter is dan uw variabele.

Met de vergelijking 3 > 5x - 2 zouden we deze bijvoorbeeld oplossen zoals we een gewone vergelijking zouden doen:

3 > 5x - 2

5 > 5x

1 > x, of x < 1.
Dit betekent dat elk getal kleiner dan één een x-waarde kan zijn. Met andere woorden, x kan 0, -1, -2, enzovoort zijn. Als we deze getallen invoegen in de vergelijking voor x, krijgen we altijd een antwoord dat kleiner is dan 3.

Stap 3. Werk aan kwadratische vergelijkingen

Een van de algebraïsche onderwerpen waar beginners moeite mee kunnen hebben, is het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Het kwadraat is een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a, b en c getallen zijn (behalve dat a niet 0 kan zijn). Deze vergelijkingen worden opgelost door de formule x = [-b +/- (b² - 4ac)]/2a. Wees voorzichtig - het +/- teken betekent dat je antwoorden op optellen en aftrekken moet vinden, zodat je twee antwoorden op dit soort vragen kunt krijgen.

Laten we bijvoorbeeld de kwadratische formule 3x. oplossen² + 2x -1 = 0.

x = [-b +/- (b² - 4ac)]/2a

x = [-2 +/- (2² - 4(3)(-1))]/2(3)

x = [-2 +/- (4 - (-12))]/6

x = [-2 +/- (16)]/6

x = [-2 +/- 4]/6

x = - 1 en 1/3

Stap 4. Experimenteer met stelsels van vergelijkingen

Meer dan één vergelijking tegelijk oplossen klinkt misschien erg ingewikkeld, maar als je met eenvoudige algebraïsche vergelijkingen werkt, is het eigenlijk niet zo moeilijk. Vaak gebruiken algebradocenten een grafische benadering om deze problemen op te lossen. Als je met een stelsel van twee vergelijkingen werkt, zijn de oplossingen de punten in de grafiek waar de lijnen van de twee vergelijkingen elkaar snijden.

We werken bijvoorbeeld met een systeem waarvan de vergelijkingen y = 3x – 2 en y = -x – 6 zijn. Als we deze twee lijnen op de grafiek tekenen, krijgen we één lijn die met een steile hoek omhoog gaat, en één die onder een steile hoek naar beneden gaat, een zachte hoek. Aangezien deze lijnen elkaar snijden in het punt (-1, -5), dan is dit punt de oplossing van dit systeem.
Als we ons probleem willen controleren, kunnen we dat doen door ons antwoord in te voegen in de vergelijking in het systeem - het juiste antwoord is "juist" voor beide vergelijkingen.

y = 3x - 2

-5 = 3(-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -x - 6

-5 = -(-1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5
Beide vergelijkingen zijn "gecontroleerd", dus ons antwoord is correct!

Tips

Er zijn veel bronnen om algebra te leren van internet. Zoek bijvoorbeeld naar "algebraïsche formules" in een zoekmachine. Er zijn zoveel geweldige resultaten die naar voren zullen komen. Je kunt ook door een selectie van wikiHow-wiskundeartikelen bladeren. Er is veel informatie beschikbaar, dus begin nu met ontdekken!
Een geweldige site voor algebra-beginners is khanacademy.com. Deze gratis site biedt tientallen gemakkelijk te volgen lessen over een breed scala aan onderwerpen, waaronder algebra. Er zijn video's voor al deze onderwerpen, van zeer eenvoudige basis tot geavanceerde onderwerpen op universitair niveau. Wees dus niet bang om de materialen van Khan Academy te verkennen en gebruik alle hulp die de site te bieden heeft!
Vergeet niet dat uw beste bronnen als u algebra probeert te leren, mensen zijn die u goed kent. Vraag je vrienden of klasgenoten naar de laatste les die je niet begreep.