De stelling van Pythagoras beschrijft de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek op een elegante en praktische manier, dus deze stelling wordt vandaag de dag nog steeds veel gebruikt. Deze stelling stelt dat voor elke rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de niet-hoekige zijden gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. Met andere woorden, voor een rechthoekige driehoek met loodrechte zijden a en b en hypotenusa c, een2 + b2 = c2.
De stelling van Pythagoras is een van de basispijlers van de elementaire meetkunde. Er zijn talloze toepassingen die deze stelling gebruiken, bijvoorbeeld om het gemakkelijk te maken om de afstand tussen twee punten op een coördinatenvlak te vinden.
Stap
Methode 1 van 2: De zijden van een rechthoekige driehoek vinden
Stap 1. Zorg ervoor dat uw driehoek een rechthoekige driehoek is
De stelling van Pythagoras is alleen van toepassing op rechthoekige driehoeken, dus voordat u verder gaat, is het erg belangrijk om ervoor te zorgen dat uw driehoeken voldoen aan de eigenschappen van rechthoekige driehoeken. Gelukkig is er één factor die erop kan wijzen dat uw driehoek een rechthoekige driehoek is. Je driehoek moet één hoek van 90 graden hebben.
Als teken worden rechthoekige driehoeken vaak gemarkeerd met kleine vierkanten om hoeken van 90 graden te markeren, waarbij geen gebogen "curven" worden gebruikt. Zoek naar dit specifieke merkteken in de hoek van je driehoek
Stap 2. Geef de variabelen a, b en c voor de zijden van je driehoek
In de stelling van Pythagoras vertegenwoordigen de variabelen a en b de zijden die elkaar ontmoeten in de rechthoekige driehoek, terwijl de variabele c de hypotenusa vertegenwoordigt - de lange zijde tegenover de rechte hoek. Markeer dus om te beginnen de korte zijden van je driehoek met de variabelen a en b (het maakt niet uit of je ze verwisselt), en markeer de hypotenusa met de variabele c.
Stap 3. Bepaal welke kant van de driehoek je wilt oplossen
Met de stelling van Pythagoras kunnen wiskundigen de lengte van elke zijde van een rechthoekige driehoek bepalen, zolang ze maar de lengtes van de andere twee zijden kennen. Bepaal welke zijde onbekend is - a, b en/of c. Als de lengte van een van je zijden onbekend is, ben je klaar om verder te gaan.
- We weten bijvoorbeeld dat de lengte van de schuine zijde van een driehoek 5 is en de lengte van een van de andere zijden 3, maar we zijn niet zeker van de lengte van de derde zijde. In dit geval weten we dat we op zoek zijn naar de lengte van de derde zijde, en aangezien we de lengtes van de andere twee weten, kunnen we het oplossen! We zullen aan dit probleem werken met de volgende stappen.
- Als je de lengtes van twee zijden niet weet, moet je een van de zijden kennen om de stelling van Pythagoras te kunnen gebruiken. Basis trigonometrische functies kunnen u helpen als u een zijde van een driehoek kent die niet schuin staat.
Stap 4. Vul de tweezijdige waarden die je al kent in de vergelijking in
Steek de lengtes van de zijden van je driehoek in de vergelijking a2 + b2 = c2. Onthoud dat a en b niet-hellende zijden zijn, terwijl c de hypotenusa is.
In ons voorbeeld kennen we de lengte van een van de zijden en de hypotenusa (3 & 5), dus de vergelijking wordt 3² + b² = 5²
Stap 5. Vierkant
Om uw vergelijking op te lossen, begint u met het kwadrateren van de bekende zijden. Als alternatief, als u dit gemakkelijker vindt, kunt u de lengtes van uw zijden in het kwadraat laten en ze later vierkant laten.
-
In ons voorbeeld zullen we kwadrateren 3 en 5 zodat we krijgen
Stap 9. da
Stap 25.. We kunnen de vergelijking schrijven als 9 + b² = 25.
Stap 6. Verplaats de onbekende variabele naar de andere kant van de vergelijking
Gebruik indien nodig elementaire algebraïsche bewerkingen om de onbekende variabele naar de andere kant van de vergelijking en het kwadraat van de andere twee variabelen naar de andere kant te laten gaan. Als je de lengte van de hypotenusa wilt vinden, staat c al aan de andere kant van de vergelijking, dus je hoeft niets te doen om hem te verplaatsen.
In ons voorbeeld is de huidige vergelijking 9 + b² = 25. Om b² te verplaatsen, trekt u beide zijden van de vergelijking af met 9, zodat het resultaat b² = 16 is
Stap 7. Vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking
Nu is slechts één variabele aan de ene kant gekwadrateerd en aan de andere kant het getal. Vierkantswortel van beide zijden om de lengte van de onbekende zijde te vinden.
-
In ons voorbeeld, b² = 16, het nemen van de vierkantswortel van beide zijden geeft b = 4. We kunnen dus zeggen dat de lengte van de onbekende zijde van de driehoek is
Stap 4..
Stap 8. Gebruik de stelling van Pythagoras om de zijden van een echte rechthoekige driehoek te vinden
De reden dat de stelling van Pythagoras tegenwoordig veel wordt gebruikt, is dat deze op talloze praktische situaties kan worden toegepast. Leer rechthoekige driehoeken in het echte leven kennen - in elke situatie waarin twee objecten of rechte lijnen een rechte hoek ontmoeten en het derde object of de derde lijn de twee objecten of lijnen diagonaal verbindt, dan kun je de stelling van Pythagoras gebruiken om de lengte van de zijde te vinden de andere, als de lengtes van de andere twee zijden bekend zijn.
-
Laten we een echt voorbeeld proberen dat een beetje moeilijker is. Een ladder leunt tegen een gebouw. De afstand van de onderkant van de trap tot de muur is 5 meter. De hoogte van de trap bereikt 20 meter. Hoe lang is de ladder?
-
5 meter van de muur en 20 meter hoog vertelt ons de lengtes van de zijden van de driehoek. Aangezien de muur en de grond (aangenomen) een rechte hoek vormen en de ladder diagonaal tegen de muur staat, kan deze opstelling worden beschouwd als een rechthoekige driehoek met zijlengten a = 5 en b = 20. De lengte van de ladder is de hypotenusa, dus de waarde van c is niet bekend. Laten we de stelling van Pythagoras gebruiken:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- wortel(425) = c
- c = 20,6. De geschatte lengte van de ladder is: 20,6 meter.
-
Methode 2 van 2: De afstand tussen twee punten in het X-Y-vlak berekenen
Stap 1. Zoek twee punten in het X-Y-vlak
De stelling van Pythagoras kan gemakkelijk worden gebruikt om de rechte lijnafstand tussen twee punten in het X-Y-vlak te berekenen. Het enige dat u hoeft te weten, zijn de x- en y-coördinaten van de twee punten. Gewoonlijk worden deze coördinaten samen geschreven in de vorm (x, y).
Om de afstand tussen deze twee punten te vinden, zullen we elk punt beschouwen als een van de niet-rechte hoeken van een rechthoekige driehoek. Als u dit doet, wordt het gemakkelijk om de lengtes van zijden a en b te vinden en vervolgens de hypotenusa c te berekenen, wat de afstand tussen de twee punten is
Stap 2. Teken je twee punten in de afbeelding
In een regelmatig X-Y-vlak staat elk punt (x, y), x voor een horizontale coördinaat en y voor een verticale coördinaat. U kunt de afstand tussen de twee punten vinden zonder deze te tekenen, maar als u dit doet, krijgt u een visueel beeld dat u kunt gebruiken om te zien of uw antwoord correct is.
Stap 3. Zoek de lengte van de niet-hellende zijde van je driehoek
Gebruik de twee punten als de hoeken van de driehoek die grenst aan de hypotenusa en zoek de lengtes van de zijden a en b van de driehoek. U kunt dit doen met behulp van een afbeelding of met de formule |x1 - x2| voor de horizontale zijde en |y1 - ja2| voor de verticale zijde, met (x1, ja1) als het eerste punt en (x2, ja2) als tweede punt.
-
Laten onze twee punten (6, 1) en (3, 5) zijn. De lengte van de horizontale zijde van onze driehoek is:
- |x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Stap 3.
-
De lengte van de verticale zijde is:
- |y1 - ja2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Stap 4.
- Dus, in onze rechthoekige driehoek, zijde a = 3 en zijde b = 4.
Stap 4. Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengte van de hypotenusa te vinden
De afstand tussen twee punten is de lengte van de schuine zijde van de driehoek waarvan je zojuist de twee zijden hebt gevonden. Gebruik de stelling van Pythagoras om de hypotenusa te vinden, waarbij a de lengte van de eerste zijde is en b de lengte van de tweede zijde.
-
In ons voorbeeld gebruiken we de punten (3, 5) en (6, 1) waarvan de zijdes 3 en 4 zijn, dus we kunnen de hypotenusa als volgt vinden:
-
- (3)²+(4)²= c²
- c= wortel (9+16)
- c= wortel(25)
-
c= 5. De afstand tussen (3, 5) en (6, 1) is
Stap 5..
-
Tips
-
De hypotenusa is altijd:
- tegenover de rechte hoek (zonder de rechte hoek aan te raken)
- langste zijde in een rechthoekige driehoek
- genaamd c in de stelling van Pythagoras
- wortel (x) betekent de vierkantswortel van x.
- Denk eraan om altijd je antwoorden te controleren. Als je antwoord fout lijkt, probeer het dan opnieuw en probeer het opnieuw.
- Als de driehoek geen rechthoekige driehoek is, hebt u aanvullende informatie nodig, niet alleen de lengtes van de andere twee zijden.
- Een andere manier om te controleren: de langste zijde ligt tegenover de grootste hoek en de kortste zijde ligt tegenover de kleinste hoek.
- Cijfers zijn de sleutel tot het opschrijven van de juiste waarden voor a, b en c. Als je aan een verhaalprobleem werkt, zorg er dan voor dat je het probleem eerst in beeldvorm opschrijft.
- Als je maar de lengte van één zijde weet, werkt de stelling van Pythagoras niet. Probeer trigonometrie (sin, cos, tan) of 30-60-90 / 45-45-90 verhoudingen te gebruiken.
