Twee breuken zijn equivalent als ze dezelfde waarde hebben. Weten hoe breuken naar hun equivalente vormen moeten worden omgezet, is een uiterst belangrijke wiskundige vaardigheid, vereist voor alle vormen van wiskunde, van elementaire algebra tot geavanceerde calculus. Dit artikel biedt verschillende manieren om equivalente breuken te berekenen, van eenvoudige vermenigvuldiging en deling tot meer complexe manieren om equivalente fractionele vergelijkingen op te lossen.
Stap
Methode 1 van 5: Equivalente breuken rangschikken
Stap 1. Vermenigvuldig de teller en de noemer met hetzelfde getal
Twee verschillende maar gelijkwaardige breuken hebben per definitie een teller en noemer die veelvouden van elkaar zijn. Met andere woorden, het vermenigvuldigen van de teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal levert gelijkwaardige breuken op. Hoewel de getallen in de nieuwe breuk anders zullen zijn, zullen de breuken dezelfde waarde hebben.
- Als we bijvoorbeeld de breuk 4/8 nemen en de teller en noemer met 2 vermenigvuldigen, krijgen we (4×2)/(8×2) = 8/16. Deze twee breuken zijn equivalent.
- (4×2)/(8×2) is eigenlijk hetzelfde als 4/8×2/2. Onthoud dat wanneer we twee breuken vermenigvuldigen, we recht vermenigvuldigen, dat wil zeggen de teller met de teller en de noemer met de noemer.
- Merk op dat 2/2 gelijk is aan 1 als je de deling doet. Het is dus gemakkelijker te begrijpen waarom 4/8 en 8/16 equivalent zijn, omdat het vermenigvuldigen van 4/8 × (2/2) = 4/8 blijft. Op dezelfde manier is het hetzelfde als zeggen 4/8 = 8/16.
- Elke gegeven breuk heeft een oneindig aantal equivalente breuken. U kunt zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met elk geheel getal, ongeacht de grootte of klein, om een equivalente breuk te krijgen.
Stap 2. Deel de teller en noemer door hetzelfde getal
Net als vermenigvuldigen kan deling ook worden gebruikt om een nieuwe breuk te vinden die gelijk is aan je oorspronkelijke breuk. Deel gewoon de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal om de equivalente breuk te krijgen. Er is één nadeel aan dit proces: de laatste breuk moet gehele getallen hebben in zowel de teller als de noemer om waar te zijn.
Laten we bijvoorbeeld terugkijken op 4/8. Als we, in plaats van te vermenigvuldigen, zowel de teller als de noemer door 2 delen, krijgen we (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 en 4 zijn gehele getallen, dus deze equivalente breuken zijn waar
Methode 2 van 5: Basisvermenigvuldiging gebruiken om gelijkheid te bepalen
Stap 1. Zoek het getal dat vermenigvuldigd moet worden met de kleinere noemer om de grotere noemer te krijgen
Veel problemen met breuken hebben betrekking op het bepalen of twee breuken equivalent zijn. Door dit aantal te berekenen, kunt u beginnen met het gelijkstellen van de fractionele termen om gelijkheid te bepalen.
- Hergebruik bijvoorbeeld de breuken 4/8 en 8/16. De kleinere noemer is 8 en we moeten het getal met 2 vermenigvuldigen om de grotere noemer te krijgen, namelijk 16. In dit geval is het getal dus 2.
- Voor moeilijkere getallen kun je de grotere noemer delen door de kleinere noemer. In dit geval wordt 16 gedeeld door 8, wat nog steeds 2 oplevert.
- Het getal is niet altijd een geheel getal. Als de noemers bijvoorbeeld 2 en 7 zijn, is het getal 3, 5.
Stap 2. Vermenigvuldig de teller en noemer van de breuk met de kleinere term met het getal uit de eerste stap
Twee verschillende maar gelijkwaardige breuken hebben per definitie teller en noemer die veelvouden van elkaar zijn. Met andere woorden, het vermenigvuldigen van de teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal levert een equivalente breuk op. Hoewel de getallen in deze nieuwe breuk anders zullen zijn, zullen deze breuken dezelfde waarde hebben.
Als we bijvoorbeeld de breuk 4/8 uit stap één gebruiken en de teller en noemer vermenigvuldigen met het getal dat we eerder hebben gedefinieerd, namelijk 2, krijgen we (4×2)/(8×2) = 8/16. Dit resultaat bewijst dat deze twee fracties equivalent zijn.
Methode 3 van 5: Basisdeling gebruiken om gelijkheid te bepalen
Stap 1. Tel elke breuk als een decimaal getal
Voor eenvoudige breuken zonder variabelen kunt u elke breuk weergeven als een decimaal getal om de gelijkheid te bepalen. Aangezien elke breuk eigenlijk een delingsprobleem is, is dit de eenvoudigste manier om gelijkheid te bepalen.
- Gebruik bijvoorbeeld de breuk die we eerder gebruikten, 4/8. De breuk 4/8 is gelijk aan het zeggen van 4 gedeeld door 8, wat 4/8 = 0,5 is. Je kunt ook het andere voorbeeld oplossen, dat is 8/16 = 0,5. Ongeacht de termen in een breuk, de breuk is equivalent als beide getallen hetzelfde zijn als ze in decimalen worden weergegeven.
- Houd er rekening mee dat decimale uitdrukkingen meerdere cijfers kunnen hebben voordat de gelijkheid duidelijk is. Als basisvoorbeeld wordt 1/3 = 0,333 herhaald, terwijl 3/10 = 0,3 Als we meer dan één cijfer gebruiken, zien we dat deze twee breuken niet equivalent zijn.
Stap 2. Deel de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal om een equivalente breuk te krijgen
Voor complexere breuken vereist de delingsmethode extra stappen. Terwijl je met vermenigvuldiging de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal kunt delen om een equivalente breuk te krijgen. Er is één nadeel aan dit proces. De laatste breuk moet gehele getallen hebben in zowel de teller als de noemer om waar te zijn.
Laten we bijvoorbeeld terugkijken op 4/8. Als we, in plaats van te vermenigvuldigen, de teller en de noemer door 2 delen, krijgen we (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 en 4 zijn gehele getallen, dus deze equivalente breuken zijn waar.
Stap 3. Vereenvoudig de breuken tot hun eenvoudigste termen
De meeste breuken worden meestal in hun eenvoudigste bewoordingen geschreven en u kunt breuken naar hun eenvoudigste vorm converteren door te delen door de grootste gemene deler (GCF). Deze stap wordt gedaan in dezelfde logica als het schrijven van equivalente breuken, waarbij ze worden omgezet in dezelfde noemer, maar deze methode probeert elke breuk te vereenvoudigen tot de kleinst mogelijke termen.
- Wanneer een breuk in zijn eenvoudigste vorm is, hebben de teller en de noemer de kleinst mogelijke waarden. Beide kunnen niet worden gedeeld door een geheel getal om de kleinere waarde te krijgen. Om een breuk die niet in zijn eenvoudigste vorm is om te zetten in zijn eenvoudigste equivalente vorm, delen we de teller en noemer door hun grootste gemene deler.
-
De grootste gemene deler (GCF) van de teller en de noemer is het grootste getal dat ze deelt om een geheel getal te geven. Dus, in ons 4/8 voorbeeld, omdat
Stap 4. het grootste getal is dat deelbaar is door 4 en 8, zullen we de teller en noemer van onze breuk delen door 4 om de eenvoudigste termen te krijgen. (4 4)/(8 4) = 1/2. Voor ons andere voorbeeld, 8/16, is de GCF 8, wat ook de waarde 1/2 retourneert als de eenvoudigste uitdrukking van een breuk.
Methode 4 van 5: Cross-producten gebruiken om variabelen te vinden
Stap 1. Schik de twee breuken zo dat ze aan elkaar gelijk zijn
We gebruiken kruisvermenigvuldiging voor wiskundige problemen waarvan we weten dat de breuken equivalent zijn, maar een van de getallen is vervangen door een variabele (meestal x) die we moeten oplossen. In dit soort gevallen weten we dat deze breuken equivalent zijn omdat ze de enige termen aan de andere kant van het isgelijkteken zijn, maar vaak is de manier om de variabele te vinden niet duidelijk. Gelukkig is het met kruisvermenigvuldiging eenvoudig om dit soort problemen op te lossen.
Stap 2. Neem twee equivalente breuken en vermenigvuldig ze met een "X" -vorm
Met andere woorden, je vermenigvuldigt de teller van een breuk met de noemer van een andere breuk en vice versa, en rangschik de twee antwoorden om met elkaar overeen te komen en op te lossen.
Neem onze twee voorbeelden, 4/8 en 8/16. Geen van beide heeft een variabele, maar we kunnen het concept bewijzen omdat we al weten dat ze equivalent zijn. Door kruislings te vermenigvuldigen, krijgen we 4/16 = 8 x 8, of 64 = 64, wat waar is. Als deze twee getallen niet gelijk zijn, dan zijn de breuken niet equivalent
Stap 3. Variabelen toevoegen
Omdat kruisvermenigvuldiging de gemakkelijkste manier is om equivalente breuken te bepalen wanneer u variabelen moet vinden, laten we variabelen toevoegen.
-
Laten we bijvoorbeeld de vergelijking 2/x = 10/13 gebruiken. Om vermenigvuldigen te kruisen, vermenigvuldigen we 2 met 13 en 10 met x en stellen we onze antwoorden gelijk aan elkaar:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Vanaf hier is het vinden van het antwoord op onze variabele een eenvoudig algebraprobleem. x = 26/10 = 2, 6, waardoor de initiële equivalente breuk 2/2, 6 = 10/13 is.
Stap 4. Gebruik kruisvermenigvuldiging voor breuken met meerdere variabelen of variabele uitdrukkingen
Een van de beste dingen van kruisvermenigvuldiging is dat het eigenlijk op dezelfde manier werkt, of je nu werkt met twee eenvoudige breuken (zoals hierboven) of meer complexe breuken. Als beide breuken bijvoorbeeld variabelen hebben, hoeft u deze variabelen alleen maar te elimineren in het oplossingsproces. Evenzo, als de teller of noemer van uw breuk een variabele uitdrukking heeft (zoals x + 1), "vermenigvuldigt" u deze gewoon met behulp van de distributieve eigenschap en lost u deze op zoals gewoonlijk.
-
Laten we bijvoorbeeld de vergelijking ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) gebruiken. In dit geval, zoals hierboven, lossen we het op per productoverschrijdend product:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, dan kunnen we de breuk vereenvoudigen door 2x van beide kanten af te trekken
- 2 = 2x + 12, dan isoleren we de variabele door 12 van beide kanten af te trekken
- -10 = 2x, en deel door 2 om x. te vinden
- - 5 = x
Methode 5 van 5: Kwadratische formules gebruiken om variabelen te vinden
Stap 1. Kruis de twee breuken
Voor gelijkheidsproblemen die een kwadratische formule vereisen, beginnen we nog steeds met het gebruik van kruisproduct. Elk kruisproduct waarbij de termen van een variabele worden vermenigvuldigd met de termen van een andere variabele, zal echter waarschijnlijk resulteren in een uitdrukking die niet gemakkelijk kan worden opgelost met behulp van algebra. In dergelijke gevallen moet u mogelijk technieken gebruiken zoals factoring en/of kwadratische formules.
-
Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar de vergelijking ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Laten we eerst vermenigvuldigen kruisen:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Stap 2. Schrijf de vergelijking op als een kwadratische vergelijking
In deze sectie willen we deze vergelijking in kwadratische vorm schrijven (ax2 + bx + c = 0), wat we doen door de vergelijking gelijk te stellen aan nul. In dit geval trekken we 12 van beide kanten af om 2x. te krijgen2 - 14 = 0.
Sommige waarden kunnen gelijk zijn aan 0. Ook al is 2x2 - 14 = 0 is de eenvoudigste vorm van onze vergelijking, de echte kwadratische vergelijking is 2x2 + 0x + (-14) = 0. Het kan in het begin handig zijn om de vorm van de kwadratische vergelijking op te schrijven, zelfs als sommige waarden gelijk zijn aan 0.
Stap 3. Los het op door de getallen uit uw kwadratische vergelijking in de kwadratische formule in te vullen
Kwadratische formule (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) helpen ons om onze x-waarde in deze sectie te vinden. Wees niet bang voor de lengte van de formule. Je neemt gewoon de waarden uit je kwadratische vergelijking in stap twee en zet ze op de juiste plaatsen voordat je ze oplost.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. In onze vergelijking, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 en c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
Stap 4. Controleer je antwoord door de waarde van x opnieuw in te voeren in je kwadratische vergelijking
Door de berekende x-waarde weer in te vullen in uw kwadratische vergelijking uit stap twee, kunt u eenvoudig bepalen of u het juiste antwoord hebt gegeven. In dit voorbeeld vul je 2, 64 en -2, 64 in de oorspronkelijke kwadratische vergelijking in.
Tips
- Het converteren van een breuk naar zijn equivalent is eigenlijk een vorm van vermenigvuldigen van een breuk met 1. Bij het converteren van 1/2 naar 2/4 is het vermenigvuldigen van de teller en noemer met 2 hetzelfde als het vermenigvuldigen van 1/2 met 2/2, wat gelijk is aan 1.
-
Converteer desgewenst het gemengde getal naar een gewone breuk om de conversie te vergemakkelijken. Natuurlijk zullen niet alle breuken die je tegenkomt zo eenvoudig zijn als het converteren van ons 4/8-voorbeeld hierboven. Gemengde getallen (zoals 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, enz.) kunnen het conversieproces bijvoorbeeld wat ingewikkelder maken. Als u een gemengd getal naar een gewone breuk moet converteren, kunt u dit op twee manieren doen: door het gemengde getal om te zetten naar een gewone breuk en het vervolgens zoals gewoonlijk om te zetten, of door de vorm van gemengde getallen te behouden en antwoorden te krijgen in de vorm van gemengde getallen.
- Om te converteren naar een gewone breuk, vermenigvuldigt u de gehele component van het gemengde getal met de noemer van de breukcomponent en voegt u deze toe aan de teller. Bijvoorbeeld, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Vervolgens kunt u deze desgewenst wijzigen. Bijvoorbeeld 5/3 × 2/2 = 10/6, die gelijk blijft aan 1 2/3.
- We hoeven het echter niet om te zetten naar een gewone breuk zoals hierboven. Anders laten we de integer-component alleen, veranderen alleen de fractionele component en voegen de integer-component ongewijzigd toe. Voor 3 4/16 zien we bijvoorbeeld alleen 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Dus door onze integer-componenten weer toe te voegen, krijgen we een nieuw gemengd getal, 3 1/4.
Waarschuwing
- Vermenigvuldigen en delen kan worden gebruikt om equivalente breuken te krijgen, omdat vermenigvuldigen en delen met de breukvorm van het getal 1 (2/2, 3/3, enz.) per definitie een antwoord geeft dat equivalent is aan de oorspronkelijke breuk. Optellen en aftrekken kan niet.
-
Ook al vermenigvuldig je de tellers en noemers wanneer je breuken vermenigvuldigt, je voegt de noemers niet toe of trekt ze niet af als je breuken optelt of aftrekt.
Hierboven weten we bijvoorbeeld dat 4/8 4/4 = 1/2. Als we optellen met 4/4, krijgen we een heel ander antwoord. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 of 3/2, ze zijn niet gelijk aan 4/8.
