Magische vierkanten zijn populair geworden met de uitvinding van op wiskunde gebaseerde spellen zoals Sudoku. Een magisch vierkant is een rangschikking van getallen in een vierkant zodat de som van elke rij, kolom en diagonaal gelijk is aan een vast getal, de "magische constante". Dit artikel zal je vertellen hoe je allerlei soorten magische vierkanten oplost, zowel oneven volgorde, even volgorde niet veelvoud van vier, of zelfs veelvoud van vier.
Stap
Methode 1 van 3: Magische vierkanten van oneven volgorde oplossen
Stap 1. Bereken de magische constante
Je kunt dit getal vinden door een eenvoudige wiskundige formule te gebruiken, waarbij n = het aantal rijen of kolommen in het magische vierkant. Bijvoorbeeld voor een 3x3 magisch vierkant, dan is n = 3. Magische constante = [n * (n * n + 1)] / 2. Dus in het voorbeeld met een 3x3 vierkant:
- Som = [3*(3*3+1)]/2
- Som = [3 * (9 + 1)] / 2
- Hoeveelheid = (3 * 10) / 2
- Hoeveelheid = 30/2
- De magische constante voor een 3x3 magisch vierkant is 30/2, wat 15 is.
- Alle rijen, kolommen en diagonalen moeten optellen tot dit aantal.
Stap 2. Plaats het cijfer 1 in het middelste vierkant op de bovenste rij
Dit is waar je altijd begint voor magische vierkanten van vreemde orde, hoe groot of klein de magische vierkanten ook zijn. Dus, als je een magisch vierkant van 3x3 hebt, plaats dan 1 in vierkant 2 (tweede vierkant van links of rechts). Een ander voorbeeld, voor een magisch vierkant van 15x15, plaats het getal 1 in vierkant 8 (het achtste vierkant van links of rechts).
Stap 3. Vul de resterende getallen in met behulp van het patroon "één vierkant omhoog, één vierkant rechts"
U voert de getallen altijd opeenvolgend in (1, 2, 3, 4, enzovoort) door een rij omhoog en vervolgens een kolom naar rechts te gaan. Al snel zul je merken dat om het cijfer 2 te plaatsen, je voorbij de bovenste rij gaat, uit het magische vierkant. Het maakt niet uit, want hoewel je getallen altijd een vakje naar boven invoert, rechts van dit ene vak, zijn er drie uitzonderingen die ook patronen en voorspelbare regels hebben:
- Als de beweging van de nummervulling je naar een vak leidt dat door de bovenste rij van het magische vierkant gaat, blijf dan in de kolom van dat vierkant, maar plaats het nummer in de onderste rij van die kolom.
- Als de beweging van de nummering je naar een vak leidt dat door de meest rechtse kolom van het magische vierkant gaat, blijf dan in de rij van dat vierkant, maar plaats de nummers in de meest linkse kolom van die rij.
- Als de beweging van vulnummers ervoor zorgt dat je naar een vak gaat dat gevuld is, keer dan terug naar het vorige vak dat gevuld is en plaats het volgende getal onder dat vak.
Methode 2 van 3: Magische vierkanten van even volgorde oplossen, geen veelvouden van vier
Stap 1. Begrijp wat wordt bedoeld met een magisch vierkant van een even orde geen veelvoud van vier
Iedereen weet dat even getallen deelbaar zijn door twee, maar in magische vierkanten zijn er verschillende methoden voor het oplossen van even-orde vierkanten die geen veelvouden van vier zijn (enkel even magisch vierkant) en die veelvouden van vier zijn (dubbel zelfs magisch vierkant).
- Even-orde vierkanten die geen veelvouden van vier zijn, hebben een aantal vierkanten aan elke kant die deelbaar zijn door twee, maar niet deelbaar door vier.
- Even-orde magische vierkanten die geen veelvouden van vier zijn, zijn de kleinste is 6x6, omdat er geen 2x2 magische vierkanten kunnen worden gemaakt.
Stap 2. Bereken de magische constante
Gebruik dezelfde methode als bij een magisch vierkant van oneven orde: de magische constante = [n * (n * n + 1)] / 2, waarbij n = het aantal vierkanten aan elke kant. Dus, in het voorbeeld van een 6x6 magisch vierkant:
- Som = [6*(6*6+1)]/2
- Som = [6 * (36 + 1)] / 2
- Hoeveelheid = (6 * 37) / 2
- Hoeveelheid = 222 / 2
- De magische constante voor een magisch vierkant van 6x6 is 222/2, wat 111 is.
- Alle rijen, kolommen en diagonalen moeten optellen tot dit aantal.
Stap 3. Verdeel het magische vierkant in vier even grote kwadranten
Markeer ze met A (linksboven), C (rechtsboven), D (linksonder) en B (rechtsonder). Om erachter te komen hoe groot elk kwadrant moet zijn, deelt u eenvoudig het aantal vierkanten in elke rij of kolom door twee.
Dus voor een vierkant van 6x6 is de grootte van elk kwadrant 3x3 vierkanten
Stap 4. Geef elk kwadrant een reeks getallen
Kwadrant A krijgt een kwart van de eerste getallen, kwadrant B is een kwart van de tweede getallen, kwadrant C is een kwart van de derde getallen en kwadrant D is het laatste kwart van het totale bereik van getallen voor een 6x6 magisch vierkant.
In het vierkante voorbeeld van 6x6 wordt kwadrant A genummerd van 1 tot 9, kwadrant B met 10 tot 18, kwadrant C met 19 tot 27 en kwadrant D met 28 tot 36
Stap 5. Los elk kwadrant op met behulp van de methode voor magische vierkanten van vreemde orde
Kwadrant A is gemakkelijk in te vullen, omdat het begint met het cijfer 1, net als een magisch vierkant in het algemeen. Maar voor kwadranten B tot en met D beginnen we voor dit voorbeeld met de ongebruikelijke getallen 10, 19 en 28.
- Denk aan het eerste getal in elk kwadrant alsof het er één is. Plaats het in het middelste vak op de bovenste rij van elk kwadrant.
- Denk aan elk kwadrant alsof het zijn eigen magische vierkant is. Zelfs als een doos zich in een aangrenzend kwadrant bevindt, negeer de doos en ga verder volgens de "uitzonderingsregel" die van toepassing is op de situatie.
Stap 6. Maak hoogtepunten A en D
Als je de kolommen, rijen en diagonalen op dit punt probeert op te tellen, zul je merken dat ze nog niet gelijk zijn aan de magische constante. Je moet een paar vierkanten verwisselen tussen de kwadranten linksboven en linksonder om het magische vierkant te voltooien. We zullen naar deze verwisselde gebieden verwijzen als Highlights A en Highlights D. (Opmerkingen:
de uitleg in deze en de volgende stap is specifieker voor 6x6 magische vierkanten, die mogelijk niet geschikt zijn voor grotere magische vierkanten).
- Markeer met een potlood alle vakjes op de bovenste rij totdat je de mediaanpositie van kwadrant A bereikt. (Opmerking: de mediaan is te vinden in de formule n = (4 * m) + 2, met m als mediaan). Dus in een 6x6 vierkant markeert u alleen vierkant 1 (dat het cijfer 8 in het vak bevat), maar in een 10x10 vierkant markeert u vierkant 1 en 2 (die respectievelijk de nummers 17 en 24 in beide vierkanten bevatten).).
- Markeer een gebied als een vierkant met behulp van de vakken die zijn gemarkeerd als de bovenste rij. Als u slechts één vakje markeert, is uw vierkant slechts dat ene vakje. We zullen naar dit gebied verwijzen als Highlight A-1.
- Dus voor een magisch vierkant van 10x10, zou Highlight A-1 bestaan uit vierkanten 1 en 2 in rijen 1 en 2, die een vierkant van 2x2 vormen in de linkerbovenhoek van het kwadrant.
- In de rij onder Markeer A-1, sla de vierkanten in de eerste kolom over en markeer vervolgens de vierkanten in het midden van het kwadrant. We noemen deze middelste rij Highlight A-2.
- Markeer A-3 is een vierkant dat identiek is aan A-1, maar in de linkerbenedenhoek van het kwadrant.
- Highlights A-1, A-2 en A-3 vormen samen Highlight A.
- Herhaal dit proces in kwadrant D en creëer identieke markeringsgebieden die D-highlights worden genoemd.
Stap 7. Wissel de hoogtepunten A en D om
Dit is de ene uitwisseling na de andere. Verplaats en wissel de vakken af tussen kwadrant A en kwadrant D zonder de volgorde te veranderen (zie afbeelding). Als je dat hebt gedaan, zouden alle rijen, kolommen en diagonalen in het magische vierkant moeten optellen tot de magische constante die je hebt berekend.
Methode 3 van 3: Magische vierkanten van even veelvouden van vier oplossen
Stap 1. Begrijp wat wordt bedoeld met een magisch vierkant van een even veelvoud van vier
Een even-orde magisch vierkant dat geen veelvoud van vier is, heeft aan elke kant een aantal vierkanten dat deelbaar is door twee, maar niet deelbaar door vier. Een magisch vierkant van even veelvouden van vier heeft het aantal vierkanten aan elke kant dat deelbaar is door vier.
Het kleinste even-orde veelvoud van vier dat kan worden gemaakt is 4x4
Stap 2. Bereken de magische constante
Gebruik dezelfde methode als bij een magisch vierkant van oneven orde: de magische constante = [n * (n * n + 1)] / 2, waarbij n = het aantal vierkanten aan elke kant. Dus, in het voorbeeld van een 4x4 magisch vierkant:
- Som = [4*(4*4+1)]/2
- Som = [4 * (16 + 1)] / 2
- Hoeveelheid = (4 * 17) / 2
- Hoeveelheid = 68 / 2
- De magische constante voor een 4x4 magisch vierkant is 68/2, dat is 34.
- Alle rijen, kolommen en diagonalen moeten optellen tot dit aantal.
Stap 3. Maak hoogtepunten A tot D
Markeer op elke hoek van het magische vierkant een minivierkant met zijdelengte n/4, waarbij n = zijdelengte van het magische vierkant. Label met markeringen A, B, C en D tegen de klok in.
- In een 4x4 vierkant markeert u alleen de vier hoeken van het vierkant.
- In een vierkant van 8x8 is elke Highlight een gebied van 2x2 in de hoek.
- In een vierkant van 12x12 is elke Highlight een gebied van 3x3 in de hoek, enzovoort.
Stap 4. Maak een middenmarkering
Markeer alle vierkanten in het midden van het magische vierkant in het vierkante gebied van lengte n/2, waarbij n = zijlengte van het magische vierkant. De middelste markeringen mogen de markeringen A tot en met D helemaal niet raken, maar kruisen ze alleen in de hoek.
- In een vierkant van 4x4 is de middelste markering een gebied van 2x2 in het midden.
- In een vierkant van 8x8 is de middelste markering het gebied van 4x4 in het midden, enzovoort.
Stap 5. Vul het magische vierkant in, maar alleen in de gemarkeerde gebieden
Begin het getal in het magische vierkant van links naar rechts in te vullen, maar voer het getal alleen in als het vierkant in het vak Markeren staat. Dus, voor een 4x4 raster, zou je de volgende vakken invullen:
- Nummer 1 in het vak linksboven en 4 in het vak rechtsboven.
- Nummers 6 en 7 in de middelste vierkanten van de tweede rij.
- De nummers 10 en 11 staan in de middelste vakjes van de derde rij.
- Het nummer is 13 in het vak linksonder en 16 in het vak rechtsonder.
Stap 6. Vul de resterende vierkanten van het magische vierkant in in omgekeerde volgorde van tellen
Deze stap is eigenlijk het omgekeerde van de vorige stap. Begin opnieuw in het vak linksboven, maar sla deze keer alle vierkanten in het gemarkeerde gebied over en vul de niet-gemarkeerde vierkanten in omgekeerde telvolgorde in. Begin met het grootste getal in je getallenreeks. Dus, voor een 4x4 magisch vierkant, zou je de volgende vakken invullen:
- De nummers 15 en 14 staan in de middelste vakjes van de eerste rij.
- Het getal 12 in het meest linkse vierkant en 9 in het meest rechtse vierkant in de tweede rij.
- Nummers 8 in het meest linkse vierkant en 5 in het meest rechtse vierkant in de derde rij.
- Nummers 3 en 2 in de middelste vierkanten van de vierde rij.
- Op dit punt zouden alle kolommen, rijen en diagonalen moeten optellen tot de magische constante die je hebt berekend.
