Een vector is een fysieke grootheid die zowel grootte als richting heeft (bijvoorbeeld snelheid, versnelling en verplaatsing), in tegenstelling tot een scalaire grootheid die alleen uit grootte bestaat (bijvoorbeeld snelheid, afstand of energie). Als scalairen kunnen worden opgeteld door magnitudes toe te voegen (bijv. 5 kJ werk plus 6 kJ werk is gelijk aan 11 kJ werk), zijn vectoren een beetje lastig om op te tellen of af te trekken. Zie stap 1 hieronder om enkele manieren te leren om vectoren op te tellen of af te trekken.
Stap
Methode 1 van 3: Vectoren optellen en aftrekken waarvan de componenten bekend zijn
Stap 1. Noteer de dimensionale componenten van de vector in vectornotatie
Omdat vectoren grootte en richting hebben, kunnen ze meestal worden opgesplitst in delen op basis van de x-, y- en/of z-dimensies. Deze dimensies worden meestal in een vergelijkbare notatie geschreven om een punt in een coördinatensysteem te beschrijven (bijv. en andere). Als je dit deel kent, is het optellen of aftrekken van vectoren heel eenvoudig, gewoon hun x-, y- en z-coördinaten optellen of aftrekken.
- Merk op of de afmetingen van de vector 1, 2 of 3 zijn. De vector kan dus componenten x, x en y, of x, y en z hebben. Ons volgende voorbeeld gebruikt een 3-dimensionale vector, maar het proces is als een 1- of 2-dimensionale vector.
- Stel dat we twee driedimensionale vectoren hebben, vector A en vector B. We kunnen deze vectoren schrijven met vectornotatie zoals A = en B =, waarbij a1 en a2 x componenten zijn, b1 en b2 y componenten zijn, en c1 en c2 zijn componenten z.
Stap 2. Om de twee vectoren op te tellen, tel je hun componenten bij elkaar op
Als de twee componenten van een vector bekend zijn, kun je de vectoren optellen door de componenten van elk op te tellen. Met andere woorden, voeg de x-component van de eerste vector toe aan de x-component van de tweede vector, en doe hetzelfde voor y en z. Het antwoord dat u krijgt door de x-, y- en z-componenten van die vectoren op te tellen, zijn de x-, y- en z-componenten van uw nieuwe vector.
- In algemene termen, A+B =.
- Laten we twee vectoren A en B optellen. A = en B =. A + B =, of.
Stap 3. Om beide vectoren af te trekken, trekt u hun componenten af
Zoals we later zullen bespreken, kan het aftrekken van de ene vector van de andere worden gezien als het optellen van de reciproke vectoren. Als de componenten van beide vectoren bekend zijn, is het mogelijk om de ene vector van de andere af te trekken door de eerste component van de tweede component af te trekken (of door de negatieve componenten van beide op te tellen).
- In algemene termen, A-B =
- Laten we twee vectoren A en B aftrekken. A = en B =. A - B =, of.
Methode 2 van 3: Optellen en aftrekken met afbeeldingen met behulp van de kop- en staartmethode
Stap 1. Symboliseer de vector door deze te tekenen met de kop en de staart
Omdat vectoren zowel grootte als richting hebben, kunnen we zeggen dat ze een staart en een kop hebben. Met andere woorden, een vector heeft een startpunt en een eindpunt dat de richting aangeeft van de vector waarvan de afstand vanaf het startpunt gelijk is aan de grootte van de vector. Wanneer getekend, heeft de vector de vorm van een pijl. De punt van de pijl is de kop van de vector en het einde van de vectorlijn is de staart.
Als u een vectortekening met afmetingen maakt, moet u alle hoeken nauwkeurig meten en tekenen. De verkeerde hoek van de afbeelding heeft invloed op het resulterende resultaat wanneer twee vectoren worden opgeteld of afgetrokken met behulp van deze methode
Stap 2. Om de tweede vector toe te voegen, te tekenen of te verplaatsen zodat de staart de kop van de eerste vector raakt
Dit wordt het combineren van kop-staartvectoren genoemd. Als u slechts twee vectoren bij elkaar optelt, moet u het volgende doen voordat u de resulterende vector vindt.
Merk op dat de volgorde waarin je vectoren toevoegt er niet toe doet, ervan uitgaande dat je hetzelfde startpunt gebruikt. Vector A + Vector B = Vector B + Veltor A
Stap 3. Om af te trekken, voegt u een negatief teken toe aan de vector
Het verkleinen van vectoren met afbeeldingen is heel eenvoudig. Keer de vectorrichting om, maar houd de grootte hetzelfde en tel uw vectorkop en -staart zoals gewoonlijk bij elkaar op. Met andere woorden, om een vector af te trekken, draait u de vector 180O en optellen.
Stap 4. Als u meer dan twee vectoren optelt of aftrekt, combineer dan alle vectoren in een kop-staartvolgorde
De volgorde van samenvoegen maakt niet uit. Deze methode kan worden gebruikt ongeacht het aantal vectoren.
Stap 5. Teken een nieuwe vector van de staart van de eerste vector naar de kop van de laatste vector
Of u nu twee vectoren of honderd optelt/aftrekt, de vector die zich uitstrekt van uw beginpunt (de staart van de eerste vector) tot het eindpunt van uw laatste vector (de kop van uw laatste vector) is de resulterende vector of de som van al je vectoren. Merk op dat deze vector precies dezelfde is als de vector die wordt verkregen door alle x-, y- en/of z-componenten bij elkaar op te tellen.
- Als je al je vectoren op maat tekent, door alle hoeken correct te meten, kun je de grootte van de resulterende vector bepalen door de lengte te meten. U kunt ook de hoek tussen de resultante en een willekeurige vector horizontaal of verticaal meten om de richting te bepalen.
- Als u niet al uw vectoren op maat tekent, moet u mogelijk de grootte van de resultante berekenen met behulp van trigonometrie. Misschien kunnen de sinus- en cosinusregels helpen. Als u meer dan twee vectoren optelt, is het handig om de eerste vector bij de tweede op te tellen, vervolgens de resultante van de tweede bij de derde op te tellen, enzovoort. Zie de volgende secties voor meer informatie.
Stap 6. Teken uw resulterende vector met behulp van de grootte en richting
Een vector wordt gedefinieerd door zijn lengte en richting. Zoals hierboven, aangenomen dat je je vector nauwkeurig hebt getekend, is de grootte van je nieuwe vector de lengte en de richting de hoek ten opzichte van de verticale of horizontale richting. Gebruik de eenheidsvectoren die u optelt of aftrekt om de eenheden voor de grootte van uw resulterende vector te bepalen.
Als de toegevoegde vectoren bijvoorbeeld de snelheid in ms. vertegenwoordigen-1, dan kan de resulterende vector worden gedefinieerd als "snelheid x ms-1 tegen jou O naar de horizontale richting.
Methode 3 van 3: Vectoren optellen en aftrekken door vectordimensionale componenten op te geven
Stap 1. Gebruik trigonometrie om de componenten van een vector te bepalen
Om de componenten van een vector te vinden, moet u meestal de grootte en richting kennen ten opzichte van de horizontale of verticale richting en trigonometrie begrijpen. Als we uitgaan van een 2-dimensionale vector, moet u eerst aan uw vector denken als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek waarvan de twee zijden evenwijdig zijn aan de x- en y-richtingen. Deze twee kanten kunnen worden gezien als componenten van een kop-staartvector die optellen om uw vector te vormen.
- De lengtes van beide zijden zijn gelijk aan de x- en y-componenten van uw vector en kunnen worden berekend met behulp van trigonometrie. Als x een vectormagnitude is, is de zijde die grenst aan de vectorhoek (ten opzichte van de horizontale, verticale en andere richtingen) xcos(θ), terwijl de andere kant is xsin(θ).
- Het is ook erg belangrijk om de richting van uw componenten te noteren. Als de component naar een negatieve coördinaat wijst, krijgt deze een negatief teken. Als een component in een tweedimensionaal vlak bijvoorbeeld naar links of naar beneden wijst, is deze negatief.
- Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we een vector hebben met magnitude 3 en richting 135O ten opzichte van het horizontale. Met deze informatie kunnen we bepalen dat de x-component 3cos(135) =. is - 2, 12 en de y-component is 3sin(135) = 2, 12
Stap 2. Twee of meer gerelateerde vectoren optellen of aftrekken
Zodra je de componenten van al je vectoren hebt gevonden, tel je ze op om de componenten van je resulterende vector te vinden. Tel eerst alle grootheden van de horizontale componenten (die evenwijdig aan de x-richting lopen) bij elkaar op. Tel afzonderlijk alle grootten van de verticale componenten op (die evenwijdig zijn aan de y-richting). Als een component negatief is (-), wordt de grootte ervan afgetrokken, niet opgeteld. Het antwoord dat u krijgt is de component van uw resulterende vector.
De vector van de vorige stap,, wordt bijvoorbeeld toegevoegd aan de vector. In dit geval wordt de resulterende vector of
Stap 3. Bereken de grootte van de resulterende vector met behulp van de stelling van Pythagoras
Stelling van Pythagoras c2=a2+b2, wordt gebruikt om de lengte van de zijde van een rechthoekige driehoek te vinden. Aangezien de driehoek gevormd door onze resulterende vector en zijn componenten een rechthoekige driehoek is, kunnen we deze gebruiken om de lengte en grootte van de vector te vinden. Met c als de grootte van de resulterende vector, die je zoekt, stel dat a de grootte van de x-component is en b de grootte van de y-component. Oplossen met behulp van algebra.
-
Gebruik de stelling van Pythagoras om de grootte van de vector te vinden waarvan we de componenten in de vorige stap hebben gezocht. Los als volgt op:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c=√60, 73 = 7, 79
Stap 4. Bereken de resulterende richting met behulp van de Tangent-functie
Zoek ten slotte de resulterende vector van de richting. Gebruik de formule =tan-1(b/a), waarbij de grootte is van de hoek gevormd in de x- of horizontale richting, b de grootte van de y-component is en a de grootte van de x-component is.
-
Gebruik =tan. om de richting van onze vector te vinden-1(b/a).
- =tan-1(-6, 88/3, 66)
- =tan-1(-1, 88)
- =-61, 99O
Stap 5. Teken uw resulterende vector volgens zijn grootte en richting
Zoals hierboven beschreven, worden vectoren gedefinieerd door hun grootte en richting. Zorg ervoor dat u de juiste eenheden gebruikt voor uw vectorgrootte.
Als ons vectorvoorbeeld bijvoorbeeld een kracht voorstelt (in Newton), dan kunnen we het schrijven "forceer 7,79 N bij -61,99" O naar horizontaal".
Tips
- Vector is anders dan groot.
- Vectoren met dezelfde richting kunnen worden opgeteld of afgetrokken door hun grootte op te tellen of af te trekken. als jij opsommen twee vectoren die tegengesteld zijn, hun magnitudes worden afgetrokken, niet opgeteld.
- Vectoren weergegeven in de vorm x i + y j + z k kunnen worden opgeteld of afgetrokken door de coëfficiënten van de drie eenheidsvectoren op te tellen of af te trekken. Het antwoord is ook in de vorm van i, j en k.
- Je kunt de grootte van een driedimensionale vector vinden met de formule a2=b2+c2+d2 waarbij a de grootte van de vector is, en b, c en d de componenten van elke richting.
- Kolomvectoren kunnen worden opgeteld en afgetrokken door de waarden van elke rij op te tellen of af te trekken.
